Смешанное произведение векторов - раздел Математика, Учебно-методическое пособие по курсу «Математика»
...
Определение. Смешанным произведением ненулевых векторов , , называется скалярное умножение векторного произведения на вектор . Обозначается: .
Геометрический смысл смешанного произведения
Теорема2.1. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах, взятого со знаком «+», если , , - правая тройка векторов, и со знаком «-», если , , - левая тройка векторов (рис. 18).
Доказательство. Построим параллелепипед на этих векторах, принимая за основание параллелограмм, построенный на векторах и . Заметим, что вектор .
Имеем
, ,
где S - площадь параллелограмма, построенного на векторах и ;
- для правой тройки векторов, - для левой тройки векторов, где h - высота параллелепипеда.
Получаем
,
где V - объем параллелепипеда, образованного векторами , , .
Свойства смешанного произведения
1) .
Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей.
2) .
Действительно, в силу первого свойства , откуда в силу свойств скалярного произведения следует, что .
Поэтому принято смешанное произведение обозначать ( ).
3) , , .
Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.
4) Смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны , если , и - компланарны).
Допустим, что это не так. Тогда, можно было бы построить параллелепипед с объемом V ¹ 0. Но , что противоречит условию .
Обратно, пусть векторы , и - компланарны. Тогда будет ортогонален плоскости векторов , , и, следовательно, . Поэтому , т. е. .
5) Если заданы векторы {xa, ya, za}, {xb, yb, zb} и {xс, yс, zс} в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то
( )= .
Доказательство. Т. к. , используя выражения в координатах для векторного и скалярного умножения, имеем
.
Умножим векторное произведение скалярно на вектор
( ) .
Некоторые приложения смешанного произведени векторов
1°. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.
Если , то - правая тройка, если , то - левая тройка.
2°. Установление компланарности векторов.
Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю ( , , )
Û Û , и компланарны.
3°. Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды.
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и вычисляется как , а объем треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на этих же векторах, равен .
Пример18. Вычислить , если
Очевидно, что вектора являются компланарными, поэтому,
Пример19. Даны координаты вершин тетраэдра ABCD: А(1;4;0), В(0;6;4),С (−4;4;− 6), D (−4;8;2). Найти объем тетраэдра.
Решение. Построим три вектора с общим началом: Вычислим смешанное произведение указанных векторов
Тогда
Все темы данного раздела:
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Учебно-методическое пособие
по курсу «Математика»
для студентов технических специальностей всех форм обучения
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители
Феофанова Вера Александровна
Мартышенко Юлия Геннадьевна
Редактор Н. А. Чудина
Подписано в печать ___
Бумага о
Определители
Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D),
Понятие обратной матрицы
Основные понятия
Пусть А - квадратная матрица n-го порядка
.
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель
Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу
Исследование систем линейных уравнений
Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
(1.3)
где числа aij
Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства
Основные понятия
Определение. Вектором называется направленный прямолинейн
Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.
. (2.11)
Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.
Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол
Аналитическая геометрия на плоскости
Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объектов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным образом рассматривает уравнения этих объектов в коор
Полярные координаты
Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу
Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат:
1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними;
2) повор
Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между прямыми на плоскости
O
a1
Линии второго порядка
Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14)
К
Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =
Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф
Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой
Общее уравнений линий второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.
Приведение общего
Аналитическая геометрия в пространстве
Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение
F(x, y, z) = 0,
которое является уравнением поверхности S в за
Уравнение плоскости
Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор
Уравнение прямой в пространстве
Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1
Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
Пусть прямая задана в канонической форме
и задана некоторая плоскость
Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий
Комплексные числа
Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z
Определение линейного пространства. Изоморфизм
Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца в
Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn,
т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый
Характеристические корни и собственные значения
Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единичная матрица порядка n, называется
Ортонормированные базы
Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены
Ортогональные матрицы
Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения
Симметрические преобразования
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых вектор
Положительно определенные формы
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных
(7.8)
которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме
Симметричная матриц
Новости и инфо для студентов