рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Уравнение плоскости

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Уравнение плоскости

Уравнение плоскости - раздел Математика, Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» Пусть Заданы: Декартовая Система Координат Oxyz, Произвольная Плоскост...

Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M₀(x₀, y₀, z₀) вектор n = (A;B;C), перпендикулярный плоскости a.

Рассмотрим произвольную точку плоскости M(x, y, z). Точка M лежит на плоскости a тогда и только тогда, когда векторы иn взаимно перпендикулярны, т. е. их скалярное произведение равно нулю. Запишем условие перпендикулярности векторов n = (A; B; C) и

(4.2)

Полученное уравнение является искомым уравнение плоскости a.

Раскрывая скобки, приведем уравнение (4.2) к виду

(4.3)

где

Уравнение (4.2) называется общим уравнением плоскости. Таким образом, плоскость является поверхностью первого порядка, так как определяется уравнением первой степени.

Верно и обратное: всякое уравнение первой степени вида (4.3) определяет в декартовой системе координат плоскость.

Пусть (x₀, y₀, z₀) – какое-то решение уравнения (4.3) такое, что выполняется равенство

Вычитая это числовое равенство из равенства (4.2), получаем уравнение:

которое эквивалентно (4.1) и, значит, определяет плоскость a. Теорема доказана.

Теорема 4.1. Уравнение плоскости в декартовой системе координат является уравнением первого порядка (4.3). Всякое уравнение первого порядка есть уравнение некоторой плоскости

Вектор n = (A; B; C), перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

Пусть тогда из уравнения (4.3) следует уравнение плоскости в отрезках

(4.4)

где

В (4.4) − величины отрезков, отсекаемых на координатных осях.

Пусть уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn₁ = (A₁; B₁; C₁) и n₂ = (A₂; B₂; C₂). Угол между плоскостями совпадает с углом между нормальными векторами плоскостей, поэтому его можно найти через скалярное произведение нормальных векторов в декартовой системе координат:

(4.5)

Очевидно, что другой угол .

Из (4.5) следует условие перпендикулярности плоскостей и :

(4.6)

Плоскости и параллельны тогда и только тогда, когда нормальные векторы плоскостей параллельны, и, значит, их координаты пропорциональны. Условие параллельности плоскостей и :

(4.7)

Рис. 35.

M(x, y, z)

Пусть заданы декартовая система координат Oxyz и произвольная плоскость p (рис. 35). Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную плоскости p. Назовем ее нормалью. Обозначим через Р точку, в которой нормаль пересекает плоскость. Пусть углы − углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат; p – длина отрезка OP.

Выведем уравнение плоскости p, считая известными и p. Вектор n = ( ) является единичным вектором на нормали.

Рассмотрим произвольную точку плоскости M(x, y, z). Она лежит на плоскости тогда и только тогда, когда

или через скалярное произведение

Из последнего равенства получаем нормальное уравнение плоскости

(4.8)

Теорема4.2. Если точка имеет координаты x^*, y^*, z^*, а плоскость задана нормальным уравнением (4.8), то расстояние от точки до этой плоскости определяется по формуле

(4.9)

Доказательство.Пусть Q – проекция точки на направленную нормаль (рис. 36); тогда

Рис. 36.

M^*(x^*, y^*, z^*)

Поскольку , ОP = p, то

Покажем, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Пусть

− общее уравнение некоторой плоскости, а

− ее нормальное уравнение. Так как уравнения определяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты этих уравнений пропорциональны, т. е.

Откуда

Чтобы найти множитель возведем первые три из равенств в квадрат и сложим, тогда получим

. (4.10)

Число , при помощи которого общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду, называется нормирующим множителем этого уравнения. Знак в (4.10) противоположен свободному члену D.

Пример 4. Найти расстояние от точки M(4, 3, 1) до плоскости, заданной уравнением

Решение. Вычислим нормирующий множитель (4.10):

Тогда из нормального уравнения плоскости

по формуле (4.9) находим

Выведем уравнение плоскости, проходящей через три различных точки M₀(x₀, y₀, z₀), M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), не лежащих на одной прямой. Пусть произвольная точка M(x, y, z) лежит на этой плоскости и три вектора , , имеют начало в одной точке M₀(x₀, y₀,z₀). Точка с координатами (x, y, z) принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны, и, значит, их смешанное произведение равно нулю

(4.11)

Если разложить определитель (4.11) по строке, то получим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пример 5.Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки M₀(1, 2, 4), M₁(2, 3, 6), M₂(0, 4, −2).

Решение. Векторы = (x − 1, y − 2, z − 4), = (1,1,2), = (−1,2,−6) являются компланарными и их смешанное произведение (4.11) равно нулю:

Уравнение искомой плоскости:

Пример 6.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(2, 2, 4) и параллельную плоскости

Решение. Вектор n = (A; B; C), перпендикулярный искомой плоскости удовлетворяет условию (7)

Тогда Положим, к примеру, затем из уравнения (4.1) находим искомое уравнение плоскости

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Учебно-методическое пособие по курсу «Математика»

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Уравнение плоскости

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» для студентов технических специальностей всех форм обучения

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители Феофанова Вера Александровна Мартышенко Юлия Геннадьевна Редактор Н. А. Чудина Подписано в печать ___ Бумага о

Определители
Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D),

Понятие обратной матрицы
Основные понятия Пусть А - квадратная матрица n-го порядка . Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель

Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу

Исследование систем линейных уравнений
Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида (1.3) где числа aij

Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства Основные понятия Определение. Вектором называется направленный прямолинейн

Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. . (2.11)

Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.

Смешанное произведение векторов
h

Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол

Аналитическая геометрия на плоскости
Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объектов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным образом рассматривает уравнения этих объектов в коор

Полярные координаты
Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу

Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат: 1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними; 2) повор

Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между прямыми на плоскости O a1

Линии второго порядка
Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14) К

Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =

Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф

Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой

Общее уравнений линий второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Приведение общего

Аналитическая геометрия в пространстве
Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение F(x, y, z) = 0, которое является уравнением поверхности S в за

Уравнение прямой в пространстве
Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1

Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
Пусть прямая задана в канонической форме и задана некоторая плоскость Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий

Комплексные числа
Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z

Определение линейного пространства. Изоморфизм
Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца в

Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn, т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый

Характеристические корни и собственные значения
Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единичная матрица порядка n, называется

Ортонормированные базы
Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены

Ортогональные матрицы
Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения

Симметрические преобразования
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых вектор

Положительно определенные формы
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных (7.8) которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме Симметричная матриц