Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве - раздел Математика, Учебно-методическое пособие по курсу «Математика»
Пусть Прямая Задана В Канонической Форме
...
Пусть прямая задана в канонической форме
и задана некоторая плоскость
Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий вектор a(l, m, n) перпендикулярен нормальному вектору n = (A; B; C) плоскости. Отсюда получаем условие перпендикулярности прямой и плоскости
(4.19)
Прямая перпендикулярна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий вектор a(l, m, n) параллелен нормальному вектору n = (A; B; C) плоскости. Отсюда получаем условие параллельности прямой и плоскости
(4.20)
Пусть прямая не перпендикулярна плоскости. Под углом между прямой L и плоскостью будем понимать угол φ между прямой L и ее проекцией на плоскость a (рис. 38). Обозначим через q угол (острый или тупой) между векторами a(l, m, n) и n(A, B, C). Тогда в общем случае
(4.21)
a
q
j
а
n
L
Рис. 38.
Пример 11.Пусть задана прямая и плоскость: .
Найти угол φ между прямой и плоскостью.
Решение. По формуле (4.21) находим
Пример 12.Пусть заданы прямые
Найти уравнение плоскости, параллельной прямым и проходящей через точку М (1;2; 0).
Решение. По формуле (4.19) находим условия, которым удовлетворяет нормаль плоскости n(A, B, C)
Положим, к примеру A = 1, тогда С = 3/5, B = −4/15. По формуле (4.2) получаем уравнение плоскости
или
Пример 13. Пусть задана прямая Найти уравнение плоскости, перпендикулярной прямой и проходящей через точку М (1;−2; 2).
Решение. По формуле (4.20) находим условие, которому удовлетворяет нормаль плоскости n(A, B, C)
Положим, к примеру, A = 4, тогда B = 1, C = 2. По формуле (4.2) получаем уравнение плоскости
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители
Феофанова Вера Александровна
Мартышенко Юлия Геннадьевна
Редактор Н. А. Чудина
Подписано в печать ___
Бумага о
Определители
Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D),
Понятие обратной матрицы
Основные понятия
Пусть А - квадратная матрица n-го порядка
.
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель
Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу
Исследование систем линейных уравнений
Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
(1.3)
где числа aij
Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства
Основные понятия
Определение. Вектором называется направленный прямолинейн
Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.
. (2.11)
Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.
Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол
Аналитическая геометрия на плоскости
Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объектов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным образом рассматривает уравнения этих объектов в коор
Полярные координаты
Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу
Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат:
1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними;
2) повор
Линии второго порядка
Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14)
К
Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =
Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф
Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой
Общее уравнений линий второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.
Приведение общего
Аналитическая геометрия в пространстве
Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение
F(x, y, z) = 0,
которое является уравнением поверхности S в за
Уравнение плоскости
Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор
Уравнение прямой в пространстве
Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1
Комплексные числа
Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z
Определение линейного пространства. Изоморфизм
Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца в
Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn,
т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый
Характеристические корни и собственные значения
Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единичная матрица порядка n, называется
Ортонормированные базы
Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены
Ортогональные матрицы
Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения
Симметрические преобразования
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых вектор
Положительно определенные формы
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных
(7.8)
которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме
Симметричная матриц
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов