рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Ортонормированные базы

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Ортонормированные базы

Ортонормированные базы - раздел Математика, Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» Из Курса Аналитической Геометрии Известно, Что Можно Ввести Понятие Скалярног...

Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены через скалярное произведение. Линейное пространство оказалось беднее понятиями и свойствами, чем наше обыкновенное пространство, в нем не нашли отражения такие понятия, как длина отрезка, величина угла, скалярное произведение.

В любом n-мерном линейном пространстве аксиоматически определим, при помощи некоторых свойств, скалярное произведение векторов.

Определение. Будем говорить, что в n-мерном действительном линейном пространстве определено скалярное произведение, если всякой паре векторов a, b поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое (a,b), называемое скалярным произведением векторов a,b, если выполняются условия:

1) (a, b) = (b, a),

2) (a + b,с)= (a,с) + (b,с),

3) ( a, b) = (a, b),

4) (a, a) > 0, если

Длиной вектора a называется величина

Определение. Если в n-мерном действительном линейном пространстве определено скалярное произведение, то это пространство E_n называется n-мерным евклидовым пространством.

При любом n в n-мерном линейном пространстве можно определить скалярное произведение, т.е. можно превратить это пространство в евклидово. Действительно, возьмём в линейном пространстве V_n любой базис

Если

то положим

(7.1)

Легко проверить, что условия 1)−4) будут выполнены, т.е. равенство (7.1) в пространстве V_n определяет скалярное произведение.

Векторы a, b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю,

(a, b) = 0.

Из определения n-мерного линейного евклидова пространства следует существование линейно независимой системы из n векторов

Рассмотрим процесс ортогонализации, т.е. процесс получения ортогональной системы из системы .

1) Положим

2) Вектор будем искать в виде

Неизвестный коэффициент определяется из условия ортогональности (b₁, b₂) = 0.

3) Вектор будем искать в виде

Неизвестные коэффициенты , определяется из условий ортогональности (b₁, b₃) = 0, (b₂, b₃) = 0.

Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему .

Назовем вектор e нормированным, если его скалярный квадрат равен единице,

(e, e) = 1.

Из любого вектора b, отличного от нуля, нормированием, т.е. переходом к вектору

(7.2)

получают нормированный вектор, длина которого

Определение. Базис n-мерного евклидового пространства называется ортонормированным, если он ортогонален, а все его вектора нормированы.

Можно сделать вывод, что всякое евклидовое пространство обладает ортонормированным базисом.

Для скалярного произведения двух векторов евклидова пространства

заданных в ортонормированном базисе, имеет место формула

откуда

Пример 1. Система векторов

является базисом пространства E₃. Построить ортонормированную базу.

Решение. Применим процесс ортогонализации. Положим

Вектор будем искать в виде

Получили

Вектор будем искать в виде

Получили

Нормируя векторы, найдем базис

Пример 2. Будем считать векторами многочлены от x степени не выше второй. Скалярное произведение векторов определим как определенный интеграл их произведения

Найти ортогональный базис.

Решение.Векторы 1, x, x² образуют базис. Применим к этому базису процесс ортогонализации.

Положим Вектор будем искать в виде

Получили Вектор будем искать в виде

Получили

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Учебно-методическое пособие по курсу «Математика»

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Ортонормированные базы

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» для студентов технических специальностей всех форм обучения

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители Феофанова Вера Александровна Мартышенко Юлия Геннадьевна Редактор Н. А. Чудина Подписано в печать ___ Бумага о

Определители
Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D),

Понятие обратной матрицы
Основные понятия Пусть А - квадратная матрица n-го порядка . Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель

Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу

Исследование систем линейных уравнений
Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида (1.3) где числа aij

Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства Основные понятия Определение. Вектором называется направленный прямолинейн

Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. . (2.11)

Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.

Смешанное произведение векторов
h

Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол

Аналитическая геометрия на плоскости
Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объектов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным образом рассматривает уравнения этих объектов в коор

Полярные координаты
Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу

Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат: 1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними; 2) повор

Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между прямыми на плоскости O a1

Линии второго порядка
Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14) К

Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =

Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф

Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой

Общее уравнений линий второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Приведение общего

Аналитическая геометрия в пространстве
Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение F(x, y, z) = 0, которое является уравнением поверхности S в за

Уравнение плоскости
Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор

Уравнение прямой в пространстве
Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1

Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
Пусть прямая задана в канонической форме и задана некоторая плоскость Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий

Комплексные числа
Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z

Определение линейного пространства. Изоморфизм
Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца в

Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn, т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый

Характеристические корни и собственные значения
Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единичная матрица порядка n, называется

Ортогональные матрицы
Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения

Симметрические преобразования
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых вектор

Положительно определенные формы
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных (7.8) которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме Симметричная матриц