рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Ортогональные матрицы

Ортогональные матрицы - раздел Математика, Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» Определение. Линейное Преобразование U Евклидова Пространства E...

Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения

(7.3)

Данное условие можно заменить условием сохранения длины вектора

(7.4)

Повороты обыкновенного трехмерного пространства около начала координат, зеркальные отображения этого пространства относительно какой-нибудь плоскости, проходящей через начало координат, являются примерами ортогональных преобразований.

Теорема7.1. При ортогональном преобразовании евклидова пространства образы всех векторов любого ортонормированного базиса сам составляет ортонормированный базис. Обратно, если линейное преобразование евклидова пространства переводит хотя бы один ортонормированный базис снова в ортонормированный базис, то это преобразование ортогонально.

Доказательство. Пусть U − ортогональное преобразование пространства En, а e1,…, en− произвольный ортонормированный базис. Ввиду (7.3)

 

при

Обратно, пусть U − линейное преобразование евклидова пространства En и переводит произвольный ортонормированный базис e1,…, en в ортонормированный базис. Если

 

то

 

т. е. вектор Uaимеет в базисе Ueте же координаты, что и произвольный вектор aв базисе e. Эти оба базиса являются ортонормированными и поэтому скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат

 

а, значит, преобразование Uсохраняет длину вектора и потому является ортогональным.

Определение. Матрица Q, для которой транспонированная матрица совпадает с обратной матрицей, называется ортогональной.

(7.5)

Очевидно,

(7.6)

тогда, переходя к определителям, получаем

 

Из равенства (7.6) следует, что квадратная матрица тогда и только тогда будет ортогональной, если сумма квадратов всех элементов ее строки равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов любых двух ее различных строк равна нулю.

Теорема 7.2. Матрица перехода от ортонормированного базиса евклидова пространства En к любому его ортонормированному базису является ортогональной.

Доказательство. Пусть, Q(qij) − матрица перехода от ортонормированного базиса eк ортонормированному базису e/,

 

В развернутой форме:

.

Из свойств ортонормированного базиса следует

 

Получили, что сумма квадратов элементов любой строки матрицы Q равна единице, а произведение соответствующих элементов разных строк равно нулю, т.е. матрица Q – ортогональна.

Из теорем 7.1 и 7.2 следует, что ортогональное преобразование евклидова пространства в любой ортонормированном базисе задается ортогональной матрицей. Обратно, если линейное преобразование хотя бы в одном ортонормированном базисе задается ортогональной матрицей, то это преобразование ортогонально.

Пусть матрица Q – ортогональна. Тогда и обратная матрица Q-1 является ортогональной. Действительно,

 

Пусть матрицы Q, R – ортогональные матрицы. Тогда и произведение матриц QR является ортогональной матрицей. Действительно,

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Учебно-методическое пособие по курсу «Математика»

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Ортогональные матрицы

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
  Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» для студентов технических специальностей всех форм обучения    

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители Феофанова Вера Александровна Мартышенко Юлия Геннадьевна   Редактор Н. А. Чудина Подписано в печать ___ Бумага о

Определители
  Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D),

Понятие обратной матрицы
  Основные понятия Пусть А - квадратная матрица n-го порядка . Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель

Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу

Исследование систем линейных уравнений
Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m урав­нений и n неизвестных, называется система вида (1.3) где числа aij

Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства Основные понятия Определение. Вектором называется направленный прямолинейн

Скалярное произведение векторов
  Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. . (2.11)

Векторное произведение векторов
  Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.  

Смешанное произведение векторов
    h  

Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол

Аналитическая геометрия на плоскости
  Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объек­тов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным обра­зом рассматривает уравнения этих объектов в коор

Полярные координаты
  Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу

Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат: 1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними; 2) повор

Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между прямыми на плоскости O a1

Линии второго порядка
  Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14) К

Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =

Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф

Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой

Общее уравнений линий второго порядка
  Важной задачей аналитической геометрии является исследование об­щего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (кано­ническим) формам. Приведение общего

Аналитическая геометрия в пространстве
  Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение F(x, y, z) = 0, которое является уравнением поверхности S в за

Уравнение плоскости
Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор

Уравнение прямой в пространстве
  Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1

Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
  Пусть прямая задана в канонической форме   и задана некоторая плоскость Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий

Комплексные числа
  Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z

Определение линейного пространства. Изоморфизм
  Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца в

Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn, т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый

Характеристические корни и собственные значения
Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единич­ная матрица порядка n, называется

Ортонормированные базы
Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены

Симметрические преобразования
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых вектор

Положительно определенные формы
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных (7.8) которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме   Симметричная матриц

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги