рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Исследование систем линейных уравнений

Исследование систем линейных уравнений - раздел Математика, Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» Основные Понятия Системой Линейных Алгебраических Уравнений, Содержа...

Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m урав­нений и n неизвестных, называется система вида

(1.3)

где числа aij, , называются коэффициентами системы, числа bi - свободными членами, числа xn - неизвестные, подлежащие определению.

Систему уравнений можно записать в компактной матричной форме

A×X = B, (1.4)

где A = - матрица коэффициентов системы;

X = - вектор-столбец из неизвестных xj;

B = - вектор-столбец из свободных членов bi.

Произведение A×X имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы Х.

Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов

.

Решением системы называется n значений неизвестных x1 = c1, x2 = c2, …, xn = cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему - означает выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Теорема о базисном миноре позволяет дать простое и эффективное условие совместности системы линейных уравнений вида (1.3), носящее название теоремы Кронекера – Капелли (Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик).

Теорема1.3. (условие совместности системы). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы

r(A) = .

Очевидно, что система (1.3) может быть записана в виде

x1 + x2 + … + xn .

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т. е. переход А ® не изменяют ранга.

2) Если r(A) = , то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов при этом есть линейная комбинация столбцов базисного минора.

Для совместных систем линейных уравнений имеют место следующие теоремы.

Теорема1.4. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, т. е. r = n, то система (1.3) имеет единственное решение.

Теорема1.5. Если ранг совместной системы меньше числа неизвест­ных, т. е. r < n, то система (1.3) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

В случае r < n, r переменных x1, x2, …, xr называются основными (базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т. е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n - r переменных называются неосновными (или свободными).

Пример14. Исследовать на совместность систему

 

Решение.

, r(A) = 1,

 

, .

 

Таким образом, , следовательно, система несовместна.

Пример15. Исследовать на совместность систему

 

Решение.

A =

~ . , r(A) = 2.

,

Таким образом, , следовательно, система несовместна.

Пример16. Решить систему

Решение.

.

Можно заметить, что третья строка матрицы является линейной комбинацией первых двух строк, поэтому берем первые два уравнения

 

 

 


значит неизвестные x1, x2 являются базисными, остальные переменные х3, х4 - свободные. Выразим базисные переменные через свободные

 

следовательно, х2 = (-3 + 3х3 - 6х4), х1 = (1 - х3 + 2х4) - общее решение. Положив, например, х3 = 0, х4 = 0, получаем одно из частных решений: х1 = , х2 = .

Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера. Матричный способ.

Данные методы применимы только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т. е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не рав­нялся нулю det A ¹ 0.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

 

Систему уравнений можно записать в матричной форме (1.4).

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель такой матрицы

 

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы в случае .

Сделаем следующее преобразование: A-1×A×X = A-1×B, т. к. А-1×А = Е, то Е×Х = А-1×В или

Х = А-1×В. (1.5)

Отыскание решения системы по формуле (1.5) называется матричным способом решения.

Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при ре­шении систем высокого порядка.

Пример17. Решить систему уравнений матричным способом

 

Решение.

Х = , B = , A = .

Т. к. , то данная система имеет единственное решение. Найдем обратную матрицу А-1.

M11 = = -16; M21 = = -9; M31 = = 11;

M12 = M22 = M32 =

M13 = M23 = M33 =

A-1 = .

Сделаем проверку:

.

Находим матрицу Х

Х = = А-1В = × =

Значит, решения системы: x = 1; y = 1; z = 1.

Матричное равенство (1.5) запишем в виде

 

или

 

Но есть разложение определителя

 

по элементам первого столбца. Определитель получается из определителя D путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак,

Аналогично: где получен из D путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; …,

Формулы

  (1.6)

называются формулами Крамера (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик).

Пример18. Решить систему по формулам Крамера

 

Решение.

, , .

Значит,

, .

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик) может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений

 

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система сводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду. Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

 

где k £ n, dii ¹ 0, . Коэффициенты dii называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из ступенчатой системы.

К элементарным преобразованиям системы уравнений относятся следующие преобразования

1°. Перестановка уравнений местами;

2°. Перестановка слагаемых местами;

3°.Умножение обеих частей любого уравнения на любое число, отличное от нуля;

4°. Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

Ступенчатая система получена с помощью элементарных преобразований системы следующим образом:

Разделим обе части 1–го уравнения на a11 ¹ 0 (если a11 = 0, то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при х1 отличен от нуля), затем

1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения;

2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т. д.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т. д.

Пример19. Решить систему методом Гаусса

 

Решение. Составим расширенную матрицу системы

.

-2
-2
Приведем матрицу к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса) с помощью эквивалентных преобразований. Необходимо на первом этапе, чтобы а11 ¹ 0, но удобнее для вычислений, чтобы а11 = 1, поэтому поменяем местами первую и вторую строки

 

-4
-19
: (-29)

 


 

 

 

Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду. Соответству­ющая система имеет вид

 

Далее последовательно определяем неизвестные

 

Итак, х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 4 или (1; 2; 3; 4).

 

Системы линейных однородных уравнений

Система (1.3) называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю

(1.7)

Очевидно, что однородная система всегда совместна (r(A) = r( )), она имеет нулевое (тривиальное) решение х1 = х2 = … = хn = 0.

Теорема1.6. Для того чтобы система однородных уравнений имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основ­ной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r < n.

Доказательство. Необходимость. Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то r £ n. Пусть r = n. Тогда один из миноров Mn´n ¹ 0. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение: , Di = 0, D ¹ 0. Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r < n.

Достаточность. Пусть r < n. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной, т. е. имеет и ненулевые решения.

Пусть дана однородная система n линейных уравнений с n неизвестными

 

Теорема 1.7. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и дос­таточно, чтобы ее определитель D был равен нулю, т. е. D = 0.

Пример 20. Решить однородную систему

 

Решение.

, , r(A) = 2.

Т. к. r < n, то система имеет бесконечное множество решений. Переменные х1 и х2 являются базисными, переменная х3 - свободная.

 

.

Итак, , Полагая х3 = с (с - const), получим - общее решение системы.

фундаментальная система?(нужно)

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Учебно-методическое пособие по курсу «Математика»

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Исследование систем линейных уравнений

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
  Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» для студентов технических специальностей всех форм обучения    

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Авторы-составители Феофанова Вера Александровна Мартышенко Юлия Геннадьевна   Редактор Н. А. Чудина Подписано в печать ___ Бумага о

Определители
  Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или D),

Понятие обратной матрицы
  Основные понятия Пусть А - квадратная матрица n-го порядка . Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель

Ранг матрицы
Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю, или не существу

Векторная алгебра
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства Основные понятия Определение. Вектором называется направленный прямолинейн

Скалярное произведение векторов
  Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. . (2.11)

Векторное произведение векторов
  Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено.  

Смешанное произведение векторов
    h  

Задачи для самостоятельного решения
1. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(1;2), В(0;4),С (−4;8). Найти длины сторон, длину медианы, биссектрисы, проведенных из вершины С. Найти угол

Аналитическая геометрия на плоскости
  Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объек­тов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным обра­зом рассматривает уравнения этих объектов в коор

Полярные координаты
  Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее лу

Преобразование декартовых координат
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат: 1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними; 2) повор

Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между прямыми на плоскости O a1

Линии второго порядка
  Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14) К

Окружность
Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке М0 называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию М0М =

Гипербола
Определение. Гиперболойназывается множество точек М плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек F1 и F2, называемых ф

Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой

Общее уравнений линий второго порядка
  Важной задачей аналитической геометрии является исследование об­щего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (кано­ническим) формам. Приведение общего

Аналитическая геометрия в пространстве
  Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение F(x, y, z) = 0, которое является уравнением поверхности S в за

Уравнение плоскости
Пусть заданы: декартовая система координат Oxyz, произвольная плоскость a, точка плоскости M0(x0, y0, z0) вектор

Уравнение прямой в пространстве
  Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1

Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве
  Пусть прямая задана в канонической форме   и задана некоторая плоскость Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае, когда направляющий

Комплексные числа
  Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z

Определение линейного пространства. Изоморфизм
  Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно, векторы задаются координатами конца в

Линейные преобразования
Рассмотрим преобразование линейного n-мерного пространства Vn, т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый

Характеристические корни и собственные значения
Пусть А − квадратная матрица порядка n с действительными коэффициентами, − некоторое неизвестное. Матрица , где Е –единич­ная матрица порядка n, называется

Ортонормированные базы
Из курса аналитической геометрии известно, что можно ввести понятие скалярного произведения векторов, и, как оказывается, и длина вектора, и угол между векторами в свою очередь могут быть выражены

Ортогональные матрицы
Определение. Линейное преобразование U евклидова пространства En называется ортогональным преобразованием, если оно не меняет величины скалярного произведения

Симметрические преобразования
Определение. Линейное преобразование A евклидова пространства En называется симметрическим (или самосопряженным) преобразованием, если для любых вектор

Положительно определенные формы
Рассмотрим квадратичную форму трех переменных (7.8) которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме   Симметричная матриц

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги