Векторная алгебра

2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
и их основные свойства

Основные понятия

Определение. Вектором называется направленный прямолинейный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Если А - начало век­тора, а В - его конец, то вектор обозначается символом или . Вектор называется противоположным вектору . Вектор, противополож­ный вектору , обозначается - .

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстоя­ние между началом и концом вектора

.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых, обозначается . Ну­левой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными ( ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т. е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из оп­ределения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Определение. Вектор называется единичным или ортом, если . Обозначается .

Определение. Вектор , начало и конец которого находятся в одной точке, называется нулевым и обозначается . Длина нулевого век­тора , направление не определено.

Линейные операции над векторами

Определение. Линейными операциями над векторами назы­вается сложение, вычитание, а также умножение вектора на число.

Определение. Суммой двух векторов и является вектор (рис. 1).

О

А

В

А

А

А

 

Рис. 1.

Такое правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Сумму векторов можно построить также по правилу параллелограмма (рис. 2).

О

О

О

О

 

 

Рис. 2.

Определение. Разностью двух векторов и называется та­кой вектор , что (рис. 3).

О

О

О

О

 

Рис. 3

Рис. 4

Определение. Произведением вектора на число l называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную , и направление, совпадающее с направлением при l > 0 и противоположное при l < 0 (рис. 4). Если l = 0 или , то .

Свойства линейных операций над векторами

Для произвольных векторов , , и любых действительных чисел a, b выполняются следующие равенства:

1) + = + ;

2) + ( + ) = ( + ) + ;

3) + = ;

4) + (-1) = ;

5) (a×b) = a(b );

6) (a+b) = a + b ;

7) a( + ) = a + a ;

8) 1× = .

 

Линейная зависимость векторов

Определение. Линейной комбинацией векторов называется вектор , где числа l₁, l₂, …, l_n называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Определение. Вектора называются линейно зави­симыми, если хотя бы один из векторов системы может быть выражен как линейная комбинация остальных.

Итак, вектора линейно зависимы, если, например,

(2.1)

где l₁, l₂, …, l_n-1 - некоторые числа.

Определение. Вектора называются линейно зависимыми, если существуют числа l₁, l₂, …, l_n, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что

. (2.2)

Это определение равносильно предыдущему. Действительно, если в равенстве (2.1) перенести в правую часть, то получим … , и, следовательно, имеем равенство (2.2). Допустим в равенстве (2.2) l_n ¹ 0, тогда вектор может быть выражен как линейная ком­бинация остальных векторов

,

и, значит, выполнено условие (2.1).

Определение. Вектора называются линейно неза­висимыми, если равенство (2.2) выполняется только при l₁= l₂= … = l_n= 0.

Замечание. Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой вектор, то вектора линейно зависимы.

Замечание. Если среди n векторов какие-либо (n - 1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Рис. 5

Замечание. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность (рис. 5).

Действительно, поместим векторы и на одной прямой, тогда можно найти такое число l, при котором Þ , т. е. вектора и линейно зависимы.

Рис. 6

Замечание. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность (рис. 6).

Действительно, поместим начало трех векторов в общую точку. Очевидно, что тогда можно подобрать единственную пару чисел l₁ и l₂, так, чтобы выполнялось следующее равенство , т. е. вектора , и линейно зависимы.

Рис. 7

Замечание. Любые четыре вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы (рис. 7).

Действительно, поместим начало четырех векторов в общую точку. Можно подобрать, причем единственным образом, числа l₁, l₂ и l₃, так, чтобы выполнялось следующее равенство , т. е. вектора , , и линейно зависимы.

Базис. Координаты вектора в базисе

Определение. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор, принадлежащий этой прямой. Базисом на плоскости называются любые два неколлинеарных вектора, взятые в определенном порядке. Базисом в пространстве называются любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Определение. Базис называется ортогональным, если образу­ющие его вектора попарно перпендикулярны. Ортогональный базис называется ортонормированным, если образующие его вектора имеют единичную длину.

Теорема2.1 Любой вектор в пространстве с базисом , , может быть представлен, причем единственным способом, в виде + + , где a, b, g - некоторые числа.

О

Рис. 8

Доказательство. Докажем, что числа a, b, g существуют. Совместим начала векторов , , и в точке О и проведем через конец вектора плоскость, параллельную плоскости (рис. 8).

Построим новые вектора и так, чтобы , и при этом вектора и были бы колли­неарны, т. е. выполнялось бы равенство .

Перенесем вектор в точку О, тогда = , и, следовательно, + + , что и доказывает существование таких чисел.

Докажем единственность разложения по данному базису. Предположим, что существуют два различных разложения вектора в базисе , ,

+ + и + + .

Вычитая почленно эти равенства, получим

,

где в силу сделанных предположений . Но это ус­ловие и означает, что вектора , , являются линейно зависи­мыми и не могут образовывать базис. Это, в свою очередь, доказывает един­ствен­ность разложения.

Определение. Числа a, b, g в разложении + + называются координатами вектора в базисе , , . Записываются в виде строки .

Свойства базиса

1. При сложении векторов их координаты относительно любого базиса складываются;

2. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Переход к новому базису. Поскольку векторное пространствоможет иметь не единственный базис встает вопрос, о переходе от разложения в одном базисе к разложению в другом базисе. Пусть имеется два базиса: и , и пусть некоторый вектор раскладывается по базисам . Очевидно, что векторы «нового» базиса также можно разложить по «старому» базису

 

Составим матрицу перехода А от «старого» базиса к «новому»

, , ,

тогда X = А×X′ или обратное соотношение X′ = А⁻¹×X.

Матрица А называется матрицей преобразования координат при переходе от базиса к базису .

Пример1. Координаты вектора = (6;6;1) даны в базисе . Записать его координаты в базисе , , .

Решение. Запишем матрицу перехода

.

Строим обратную матрицу det(A) = -1 ¹ 0, поэтому

.

Тогда или

.

Пример2. В базисе , , заданы три вектора , , . В базисе , , задан вектор . Най­ти координаты вектора в базисе , , .

Решение. Вектор разложим по векторам базиса , , : = -2 + +3 , а вектора , , по векторам базиса , , : = + , = - +2 + , = - - . Подставим в разложение вектора послед­ние равенства, получим = -2( + ) - +2 + + 3(- - ) = -6 + 2 - 4 .

В базисе , , вектор = (-6; 2; -4).

Пример3. Выяснить, являются ли линейно зависимыми векторы , , и, если это так, выразить один из векторов через другие.

Решение. Проверим условие линейной зависимости векторов

или

-3

-2

Т. к. r(A) = 2, система имеет линейно зависимые строки. Выразим один вектор через другие. Положим l₃ = 1, тогда l₂ = 3, l₁ = -2, , .

 

Проекция вектора на ось

x

y

z

O

M

Mx

My

Mz

Рис. 9

Пусть даны ось l и вектор . Проектируя начало и конец вектора на ось l, получим вектор (рис. 9).

l

Рис. 10

Определение. Проекцией вектора на ось l называется число, равное длине вектора , взятой со знаком «+» или «-» в зависимости от того, направлен ли вектор в ту же сторону, что и ось l, или противоположную. Обозначается .

Определение. Углом между двумя векторами называется на­именьший угол, на который надо повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением другого вектора.

А

В

l

j

Рис. 11

B1

Свойства проекций

1. , где j - угол между векторами и (рис. 10).

2. .

3. , где l некоторое число.

Определение. Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и ортонормированного базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат, называются осями координат: 1-я ось – ось абсцисс, 2-я ось – ось ординат, 3-я ось – ось аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями.

Зафиксируем в пространстве точку О, проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси, на каждой из них возьмем единичный вектор, направленный по этой оси (орт оси) и рассмотрим произвольную точку М (рис. 11).

Вектор назовем радиус-вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – координаты ее радиус-вектора. Проектируя точку М на ось Ох, получим точку М_х. Первой координатой х или абсциссой точки М называется длина вектора , взятая со знаком «+», если направлен в ту же сторону, что и вектор , и со знаком «-» - если в противоположную. Аналогично получим точки M_y, M_z и определим ординату у и аппликату z точки М. Таким образом, имеем

.

Такое представление вектора называется разложением его на компоненты или составляющие по координатным осям. Нетрудно заметить, что вектор лежит на диагонали параллелепипеда, следовательно, можно найти его длину

. (2.3)

Координаты вектора обозначаются или . Координаты точки М записывают так: M(x, y, z).

Пусть углы вектора с осями Ox, Oy и Oz соответственно равны a, b, g. По свойству проекции вектора на ось, имеем

, , ,

или

, , . (2.4)

Числа , , называются направляющими косинусами вектора .

Направляющие косинусы связаны между собой соотношением

. (2.5)

Единичный вектор , соответствующий вектору , равен . Нетрудно заметить, что координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами.

Если даны координаты точек А(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂), то координаты вектора = − получаются вычитанием из координат его конца В координат начала А

, или

. (2.6)

При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т. е. если

и ,

то

,

. (2.7)

Если векторы и коллинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем, т. е. . Из (2.7) следует, что у коллинеарных векторов координаты пропорциональны

. (2.8)

Равенство (2.8) называется условием коллинеарности двух векторов.

Длина вектора , заданного координатами своих концов, т. е. расстояние между точками А и В вычисляется по формуле

. (2.9)

 

Деление отрезка в данном отношении

Найдем координаты точки М(x, y, z) на отрезке АВ, которая делит этот отрезок в отношении l (рис. 12), т. е. удовлетворяет условию

(l > 0).

Это условие можно переписать в виде

.

Выпишем координаты векторов и

, .

Тогда

 

Из этих равенств можно найти x, y, z

, , . (2.10)

Формулы (2.10) известны под названием формул деления отрезка в данном отношении.

Из формул (2.10) получается, что координаты середины отрезка (l = 1) равны полусуммам соответствующих координат концов

, , .

А

М

В

Рис. 12

Пример4. Найти направление вектора .

Решение. Координаты вектора . Определим длину вектора , используя формулу (2.3)

.

Направление вектора определяют направляющие косинусы, из соотношений (2.4) имеем

.

Пример5. Вектор составляет с осями координат острые углы a, b, g, причем , . Найти его координаты, если .

Решение. Прежде всего, из соотношения (2.5) найдем угол g

,

Þ .

Т. к. по условию угол g острый, то и . Следовательно,

,

поэтому

или .

Пример6. Коллинеарны ли векторы , где и ?

Решение. Найдем координаты векторов и , используя формулы (2.7)

,

.

Проверим условие (2.8) коллинеарности двух векторов

,

т. к., координаты пропорциональны, следовательно, векторы и коллинеарны.

Пример7. Определить координаты вектора , если известно, что , он коллинеарен вектору и его направление совпадает с направлением вектора .

Решение. Обозначим координаты вектора через x, y, z, т. е. . Поскольку векторы коллинеарны, то . Из равенства векторов следует равенство их координат , , . Т. к. , то по формуле (2.3) имеем

, или .

Поскольку направления векторов и совпадают, то следует взять l > 0, т. е. . Значит, координаты искомого вектора будут

.

1. Пример8. Даны координаты вершин треугольника ABC: А(0;4), В(−2;2),С (6;0). Найти координаты точки G- точки пересечения медиан (центра масс треугольной однородной пластины) АВС.

Решение. Пусть AM – медиана треугольника ABC. Точка М, как середина отрезка ВС имеет координаты М(2;1), вектор Так как в точке пересечения медиан выполняется соотношение то Из векторного равенства находим G(4/3;2).