Реферат Курсовая Конспект
II.1. Степенная функция и ее свойства. - раздел Математика, Задачи по математике ...
|
Степенная функция с натуральным показателем. Функция у = хn, где n — натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:
Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой у = kxn, где число k называется коэффициентом пропорциональности.
Перечислим свойства функции у = kx.
1) Область определения функции — множество всех действительных чисел.
2) y = kx — нечетная функция (f( — х) = k ( — х)= — kx = -k(х)).
3) При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.
График (прямая) изображен на рисунке II.1.
Рис. II.1.
При n=2 получаем функцию y = х2, ее свойства:
Функция у —х2. Перечислим свойства функции у = х2.
1) Область определения функции — вся числовая прямая.
2) у = х2— четная функция (f( — х) = ( — x)2 = x2 = f (х)).
3) На промежутке [0; + οο) функция возрастает.
В самом деле, если , то , а это и означает возрастание функции.
4) На промежутке (—оо; 0] функция убывает.
В самом доле, если ,то — х1 > — х2 > 0, а потому
(—х1)2> ( — х2)2, т. е. , а это и означает убывание функции.
Графиком функции y=х2 является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.
Рис. II.2.
При n = 3 получаем функцию у = х3, ее свойства:
1) Область определения функции — вся числовая прямая.
2) y = х3 — нечетная функция (f ( — х) = { — x)2 = — х3 = — f (x)).
3) Функция y = x3 возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x3 изображен на рисунке. Он называется кубической параболой.
График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.
Рис. II.3.
Пусть n— произвольное четное натуральное число, большее двух:
n = 4, 6, 8,... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х2. График такой функции напоминает параболу у = х2, только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.
Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х3. График такой функции напоминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.
Степенная функция с целым отрицательным показателем. Рассмотрим функцию у = х-n, где n — натуральное число. При n = 1 получаем у = х-n или у = Свойства этой функции:
График (гипербола) изображен на рисунке II.4.
Пусть n — нечетное число, большее единицы,
n = 3, 5, 7, ... . В этом случае функция у = х-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у =График функции у = х-n (n = 3, 5, 7, ...) напоминает
Рис. II.4.
график функции у =. Пусть n — четное число, например п = 2. Перечислим некоторые свойства функции у = х-2, т. е. функции y = .
1) Функция определена при всех х0.
2) y = четная функция.
3) y = убывает на (0; +оо) и возрастает на (—оо;0).
Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х-n при четном n, большем двух.
График функции у = изображен на рисунке. Аналогичный вид имеет график функции , если n = 4, 6, ... .
Функции вида , , обладают теми же свойствами, как и функция .
Степенная функция с положительным дробным показателем. Рассмотрим функцию у = хr, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции.
1) Область определения — луч [0; + оо).
2) Функция ни четная, ни нечетная.
3) Функция у = хr возрастает на [0; +оо).
Рис. II.5.
На рисунке II.5. изображен график функции Он заключен между графиками функций у = х2 и у = х3, заданных на промежутке [0; + оо).
Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где .
На том же рисунке изображен график функции . Подобный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где .
Степенная функция с отрицательным дробным показателем. Рассмотрим функцию у = х-r, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.
1) Область определения — промежуток (0; + оо).
2) Функция ни четная, ни нечетная.
3) Функция у = х-r убывает на (0; +оо).
Построим для примера график функции у — хтаблицу значений функции:
Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).
Подобный вид имеет график любой функции
у = хr, где r — отрицательная дробь.
Рис. II.6.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Функции и их свойства используемые при решении показательно степенных уравнений и неравенств...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: II.1. Степенная функция и ее свойства.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов