Түзудің жалпы теңдеуінен Ax+By+C=0 у арқылы өрнектейміз.
By=-Ax-C
деп белгілеп, бұрыштық коэффициентпен берілген түзудің теңдеуін аламыз
y=kx+b
Мұнда k-параметрі түзудің Ох осімен жасайтын бұрышының тангенсіне k=tgтең және ол түзудің бұрыштық коэффициенті немесе көлбеуі деп аталады. Ал параметр b- түзудің Оу осінен қиятын кесіндісі неиесе басты ордината деп аталады.
Осы жағдайда екі түзудің арасындағы бұрышы ретінде олардың жасайтын айқас бұрыштарының ең кішісі алынады.
+ және +
түзулерінің арасындағы бұрышы мына формуламен анықталады:
tg (7)
Түзулердің параллельдік шарты (8)
Түзулердің перпендикулярлық шарты
(9)
6-мысал. Берілген түзулердің бұрыштық коэффициенттерін анықтау керек.
a) 2x-y-13=0 b) 6x+2y-8=0
Шешуі. а) 2x-y+3=0 түзудің жалпы теңдеуінің y арқылы өрнектейміз:-y=-2x-3
-y=-2x-3(-1)-ге көбейтіп, y=2x+3 аламыз, осыдан бұрыштыұ коэффициенті k=2 тең болады.
б) 5x+2y-8=0 дәл сол сияқты y табамыз 2y=-5x+8(2) ге көбейтіп бөлеміз,
y= Аламыз, яғни бұрыштық коэффициент k=-2.5
7-мысал. Екі түзудің арасындағы бұрышты есептеу керек: y=3x және y=-2x+5
Шешуі. Түзулердің бұрыштық коэффициентін анықтаймыз: бірінші түзудің бұрыштық коэффициенті , k=3 екіншісінікі k=-2 (7)формула арқылы түзулердің арасындағы бұрышты табамыз:
tg мұндағы
8-мысал. Түзулердің параллельдік шартын тексеру керек: y=4x-7 және y=4x-1
Шешуі: Алдымен бұрыштық коэффициентін анықтаймыз: және . Түзулердің параллельдік (8) шарты бойынша: параллельдік шарты орындалатындықтан, бұл түзулер параллель.
9-мысал. Түзулердің перпендикулярлық шартые тексеру керек.
y=4x-3 жәнеy=
Шешуі; Алдымен бұрыштық коэффициентін анықтаймыз. және . Түзулердің перпендикулярлық(9) шарты бойынша : Осыдан перпендикулярлық шарты орындалатындықтан, бұл түзулер перпендикуляр.
3. Түзудің кесінділер арқылы берілген теңдеуі. Түзудің жалпы теңдеуін түрлендірейік Ax+By+C=0; Ax+By=-C ,теңдеуін (-С)-ға бөлеміз:
a= және b= деп белгілесек, түзудің кесінділік теңдеуін аламыз:
(10)
мұндағы a-түзудің Ох осінен қиятын, ал b - Оу осінен қиятын кесіндінің ұзындығы.
10-мысал. Кесіндідегі 3x+2y+4=0 түзуінің теңдеуін жазу керек.
Шешуі. Түзудің жалпы теңдеуін кесіндідегі түзудің теңдеуіне келтіреміз:
3x+2y=-4, (-4) ке бөлеміз,
Бұл кесінділер арқылы берілген түзудің теңдеуі.
4. Берілген бір нүкте А() арқылы өтетін түзудің теңдеуі:
y- (11)
11-мысал. А(2;1) нүктесінен өтетін және 3x+y+4=0 түзуіне параллель түзудің теңдеуін жазыңыз.
Шешуі:3x+y+4=0 түзуінің теңдеуін бұрыштық коэффициентпен берілген (6) түзудің теңдеуіне келтіреміз.Ол үшін теңдеуден у табамыз: y=-3x-4 бұрыштық коэффициент k=-3 тең ізделінді түзу берілген түзуге параллель, сондықтан (8) шарт бойынша олардың бұрыштыұ коэффициенті шартын қанағаттандыру керек.
сондықтан Енді(11) формуланы қолданып y-1=-3(x-2) осы теңдеу A(2;1) нүктесінен өтетін
теңдеуіне параллель түзу болады.
12-мысал. А(2;1)нүктесінен және перпендикуляр түзуінен өтетін, түзудің теңдеуін жаз.
Шешуі. Дәл сол сияқты, алдыңғы мысалдағыдай, берілген түзуді бұрыштық коэффициентпен берілген түзудің теңдеуіне келтіреміз. Ізделінді түзу берілген түзуге перпендикуляр, сондықтан олардың бұрыштық коэффициенті (9) шартты қанағаттандыру керек: осыдан -3 = . Енді (11) формуланықолданамыз:
Осы теңдеу берілген теңдеуге перпендикуляр және А(2;1) нүктесінен өтеді.
5. Екі нуктеден A( ) және B ( ) өтетін түзудің теңдеуі:
(12)
13-мысал.ЕкінүктеденөтетінА(2;3) және В(-1;2) өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз.
Шешуі.А- бірінші нүкте, сондықтан және екінші нүкте, яғни
және (12) формуладан түзудің теңдеуін табамыз:
Берілген векторға перпендиуляр және бір нүктеден өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз.
Түзуге перпендикуляр, нөлдік емес вектор осы түзудің нормаль векторы деп аталады
Нормаль векторы бар және берілген нүктесінен өтетін түзудің теңдеуі былай жазылады:
А( B(y- ) (13)
14-мысал. нүктесінен өтетін және векторына перпендикуляр түзудің теңдеуін жазыңыз.
Шешуі: (13) формуладан
5(х-1)-2(у+3)=0 5х-2у-11=0 (13)