5.1 Жазықтық
Кеңістікте қандай да бір жазықтық бірінші дәрежелі теңдеу Ах+Ву+Сz+D=0 қылы анықталады, мұндағы А,В,С коэффициенттерінің кем дегенде біреуі нөлден өзгеше.
Бұл теңдеу жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталады. Егер М( ) нүктесі жазықтықта жататын болса, онда оның координаттары осы жазықтықтың теңдеуін қанағаттандырады. Бұл дегеніміз x, орнына координата нүктелерін қойғанда дұрыс теңдік шығады.
1-мысал. α жазықтығының теңдеуі берілген:
х-2у+3z-5=0
M(1;2;1) , N(1;1;2) нүктелері берілген жазықтықта жататынын тексеру керек.
Шешуі. М нүктесі үшін Осы нүктенің координаттарын жазықтықтың теңдеуіне қойып: 1-4+3-5=0; -5 Басқаша айтқанда М нүктесі жазықтықта жатпайды. Ал N нүктесінің координаттарын теңлеу қойып текскріңіз 1-2+6-5=0
2-мысал. Мына 2х-3у+4z-12=0 жазықтықтың координаттар осімен қиылысын табыңыз.
Шешуі. Жазықтықтың координаттар осімен қиылысуы мынадай нүктелер болады К(х;0;0), М(0;у;0), N(0;0;z) Осыған байланысты жазықтықтың теңдеуіне координаттар осінің екеуін нольге теңестіру арқылы үшінші координата табамыз.
К нүктесі үшін : y=0⇒2x-12=0⇒x=6 K(6;0;0)
М нүктесі үшін : x=0 z=0 -3n -12=0⇒y=-4⇒M(0;-4;0)
N нүктесі үшін: x=0; y=0⇒4z-12=0⇒z=3⇒N(0;0;3)
Жазықтықтың орналасуының дербес жағдайлары
А=0 Ox осіне параллель
В=0
С=0
D=0 Бас нүктеден өтеді
A=D=0 Ох осінен отеді
B=D=0 Оу
C=D=0 Oz
A=B=0 xOy жазықтығына парллель (Oz осіне пернпендикуляр)
A=C=0 xOz( )
B=C=0 yOz( )
3-мысал. нуктелерінен өтетін Oz осіне параллель жазықтықтың теңдеуін құру керек.
Шешуі. Жазықтық Oz осіне параллель болса, онда С=0. Осыдан, жазықтықтың теңдеуі мына түрге ие: Ах+Ву+D=0. нүктелерінің координаталарын соңғы теңдеуге қойып, мына теңдеулер жүйесін аламыз.
A=1 болса, онда В=1 D=3. Ізделінді теңдеу
4-мысал. М(1;2;-3) нүктесінен және Ох осінен өтетін жазықтықтың теңдеуін жазыңыз.
Шешуі. Жазықтық Ох осінен өтетіндіктен, онда A=D=0 Сондықтан жазықтықтың теңдеуі мына түрде болады By-Cz=0. Осы теңдеуге М нүктесінің координаталарын қойып
y=2, z=-32B-3C=0 аламыз. Осыдан В= С=2 болсын, онда В=3. Ізделінді теңдеу 3y+2z=0.
5-мысал.М(1;2;3) нүктесінен өтетін және Оу осіне перпендикуляр жазықтықтың теңдеуін құру керек.
Шешуі.Жазықтық Оу осіне перпендикуляр болғандықтан онда А=С. Яғни, жазықтықтың теңдекі мына түрде By-D=0 беріледі. Бұл теңдеуге нүктенің координаттарын қойып у=2, 2B+D=0 аламыз, немесе D=-2B. B=1 болсын, онда D=-2.
Ізделінді теңдеу у-2=0.