Егер теңдеулер жүйесінің ең болмағанда бір шешімі болса, онда бұл жүйе үйлесімді деп аталады, ал шешімі болмаса , онда ол жүйе үйлесімсіз деп аталады. Егер жүйенің жалғыз шешімі болса, үйлесімді жүйе анықталған деп аталады, және көп шешімі болса, онда анықталмаған жүйе деп аталады.
Кронекер Капелли теоремасы: Егер жүйе матрицасының рангісі жүйенің кеңейтілген матрицасының рангісіне тең болса, сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімді және ең болмағанда бір шешімі болады. Егер болса, жүйе үйлесімсіз , яғни шешімі жоқ.
r=n жағдайында үйлесімді жүйенің жалғыз шешімі болады, r болғанда үйлесімді жүйенің көп шешiмі болады.
6-мысал.Теңдеулер жүйесі үйлесімді болса Гаус әдісімен шешіңіз.
b)
Шешуі.
а) жүйе матрицасы:A=
жүйенің кеңейтілген мтрицасы:
Матрицаның рангісін элементар түрлендіру арқылы анықтаймыз, яғна қтарларды элементар түрлендіру арқылы баспалдақты түрде келтіреміз. матрицасын элементар түрлендіруге болады : бірінші қатарды ng w:val="KZ"/></w:rPr></m:ctrlPr></m:dPr><m:e><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/><w:lang w:val="KZ"/></w:rPr><m:t>-2</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> ке көбейтіп ,екінші қатарға қосамыз, бірінші қатарды ng w:val="KZ"/></w:rPr></m:ctrlPr></m:dPr><m:e><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/><w:lang w:val="KZ"/></w:rPr><m:t>-3</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> ке көбейтіп үшінші қатарға қосамыз:
А және матрицалары баспалдақты түрде түрлендіргеннен , үш нөлдік емес қатар шығады, яғни жүйе үйлесімді. Сонымен қатар , белгісіздердің саны және рангісі үшке тең болғандықтан жүйенің бір ғана шешімі бар.
Гаусс әдісі теңдеулер жүйесінде айнымалыларды элементар түрлендірулер арқылы кезектеп жойып жүйені баспалдақ түрге келтіреді. Жүйені элементар түрлендіру матрицаларды түрлендіруге сәйкес жасалады. Бұл түрлендірулер жоғарыда жасалған. Сондықтан берілген жүйе элементар түрлендіргеннен кейін соңғы матрица арқылы жаңа жүйе аламыз:
Төменнен жоғарыға көтеріліп, яғни соңғы теңдеуден
, сосын екінші теңдеуден:
Бірінші теңдеуден: табылады.
Шешуі:
Тексеру:
2 =2
б) Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып A және рангісіе есептейміз:
=
Мынадай түрлендірулер жасалды: алдымен бірінщі жолды (-9) көбейтеміз де, екінші жолдың сәйкес элементтеріне қосамыз; сосын бірінші жолды (-2)- ге көбейтіп, екінші жолға және (-5)-ке көбейтіп үшінші жолға, екінші жолды (-2)-ге көбейтіп , үшінші жолға қосамыз. матрицасы нөлдік емес үш қатарлы баспалдақты матрица түріне келеді; сондықтан оның рангісі A матрицасы нөлдік емес екі қатардан тұртын матрица түріне келеді, сондықтан А матрицаның рангісі . Сонымен
яғни жүйе үйлесімсіз.
7-мысал.Бірінші ретті сызықты теңдеулер жүйесіншешу керек.
a)
Шешуі: Белгісіздердің саны теңдеулердің санына тең болғандықтан, жүйенің шешімі анықтауыштың мәніне байланысты, егер онды жүйенің шексіз көп шешімі бар;егер онда жүйе бір ғана нөлдік шкшімі болады.
а) осыдан, жүйенің бір ғана нөлдік шешiмі болады
б) осыдан, жүйенің бірнеше шешімі бар.
болғандықтан, жүйенің матрицасының рангісі 1 тең. Мысалға, мұндa бір айнымалы негізгі деп қарастырамыз да, екіншісі еркін болады. Сонда еркін айнымалы. Негізгі айнымалыны еркін айнымалы арқылы өрнектейміз де, еркін айнымалыға кез келген мән беру арқылы есептеу жүргіземіз. Мысалы онда
. Жүйенің жалпы шешімін аламыз. Жалпы шешімнен с тұрақтысына әртүрлі мән беру арқылы дербес шешімін алуға болады: Мысалы, c=1 болсын, онда дербес шешімі, егер c=2 болса т.с.с