Реферат Курсовая Конспект
Список основных статей по линейной алгебре - раздел Математика, Список Основных Статей По Линейно...
|
Аффинное пространство
Базис и размерность векторного пространства
Билинейное отображение
Векторное пространство
Двойственное векторное пространство
Жорданова нормальная форма
Квадратичная форма
Квадратичная форма на векторном пространстве
Линейное нормированное пространство
Линейное отображение векторных пространств
Матрица
Операции над матрицами
Матрица линейного отображения
Минимальный многочлен линейного оператора
Пусть — конечномерноевекторное пространство над полем и — линейный оператор на .
Определитель и след линейного оператора
Определитель матрицы
Пересечение и сумма подпространств
Ранг матрицы
Свободный модуль
Скалярное произведение
Теорема Лапласа
Минор
Пусть — квадратная матрица порядка с коэффициентами из кольца ,.
Определение 1. Минором1) порядка произвольной матрицы называется определитель ее подматрицы порядка .
Таким образом, чтобы найти некоторый минор порядка , мы должны выполнить следующие действия. Зафиксируем в матрице любые строк с номерами и столбцов с номерами . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу. Ее определитель — это минор порядка , который мы будем обозначать через .
Пример 1. Рассмотрим матрицу порядка 3: . Выберем в ней 2-ю строчку и 3-й столбец. Тогда число, стоящее на пересечении этой строчки и этого столбца, — минор порядка 1. Всего в этой матрице 9 миноров порядка 1.
Пример 2. В матрице из примера 3 выберем 1-ю и 3-ю строки и 1-й и 2-й столбец. Соответствующий минор будет равен .
Определение 2. Пусть — минор порядка квадратной матрицы , построенный на строках с номерами и столбцах с номерами . Вычеркнув из матрицы эти строки и столбцы, получим квадратную матрицу, определитель которой будем называть дополнительным минором2) к минору . Произвольный элемент матрицы можно рассматривать как минор . В этом случае называют дополнительным минором к элементу .
Пример 3. Дополнительный минор к минору из примера 4 равен .
Пример 4. Дополнительный минор к элементу матрицы из примера 3 равен .
Определители 2-го порядка
Правило вычисления определителей 2-го порядка указано в примере 1.
Задача 1. Вычислить определитель .
Решение. .
Определители 3-го порядка
Правило вычисления определителей 3-го порядка указано в примере 2.
Задача 2. Вычислить определитель .
Характеристический многочлен линейного оператора
Рассмотрим конечномерноевекторное пространство над полем . Зафиксируем на немлинейный оператор . Через будем обозначать матрицу оператора в некотором заранее выбранном базисе.
Инвариантные подпространства
Определение 1. Подпространство называется инвариантным1) относительно линейного оператора , если .
Теорема 1. Пространство является прямой суммой двух подпространств и , инвариантных относительно линейного оператора , тогда и только тогда, когда в некотором базисе матрица оператора имеет клеточно-диагональный вид: .
Диагонализируемые линейные операторы
Определение 8. Линейный оператор называется диагонализируемым, если существует базис, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид .
Теорема 4. Линейный оператор с простым спектром диагонализируем.
Теорема 5. Пусть — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве над полем . Для диагонализируемости необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий:
1. все корни характеристического многочлена лежат в ;
2. геометрическая кратность каждого собственного значения совпадает с его алгебраической кратностью.
Пример 3. Пусть — векторное пространство над полем действительных чисел и — линейный оператор на , имеющий в некотором базисе матрицу . Характеристический многочлен этого оператора равен: . Уравнение не имеет корней в действительных числах, поэтому оператор не имеет собственных значений.
Пример 4. Пусть в предыдущем примере векторное пространство рассматривается над полем комплексных чисел . Тогда характеристическое уравнение оператора имеет 2 корня . Следовательно, оператор имеет простой спектр и поэтому диагонализируем.
Системы линейных уравнений
Образ и ядро линейного оператора
Рассмотрим линейный оператор A, действующий в пространстве Rn.
Напомним, что множество элементов пространства Rn, которые являются образами элементов из области определения D(A) оператора A, называют образом оператора A и обозначают Im(A).
Теорема. Образ Im(A) линейного оператора A — линейное подпространство пространства Rn.
Теорема на лекции доказана.
Определение. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается Rg(A): r=Rg(A)=dim Im(A).
Определение. Ядром линейного оператора называется множество элементов пространства Rn, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A): .
Теорема. Ядро линейного оператора — линейное подпространство пространства Rn.
Теорема на лекции доказана.
Определение. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается def(A):r=def(A)=dimKer(A).
Длялинейного оператора, действующего в пространстве Rn, справедливы следующие утверждения:
1) ранг оператора равен рангу его матрицы;
2) ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;
столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.
Эти утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора (найти размерность подпространства и построить его базис), заданного матрицей, на языке матричных преобразований и общей теории линейных систем.
Примеры.
1. Ядро и образ нулевого оператора: поскольку то
2. Ядро и образ тождественного (единичного) оператора:поскольку , то
3. Ядро и образ оператора проектирования пространства Rn на подпространство Rn-1 параллельно вектору : поскольку , то
4. Ядро и образ оператора поворота пространства R3 против часовой стрелки на угол p относительно оси вектора : поскольку , то
Матрица линейного оператора
Пусть
, A — линейный оператор в Rn.
Это означает, что в некотором базисе в Rn имют место разложения:
.
Поскольку A — линейный оператор, то
Но следовательно, т.е. — вектор из Rn, компоненты которого — координаты образа базисного вектора
Продолжим вычисления:
Обозначим
.
Тогда т.е. .
Формула связывает вектор-столбец координат образа с вектором-столбцом координат прообраза.
Определение. Матрица, столбцами которой являются координаты образов соответствующих базисных векторов некоторого базиса в Rn —
· называется матрицей линейного оператора Aв данном базисе.
Обратите внимание, теперь и в дальнейшем A (полужирная) — обозначение линейного оператора, A(светлая) или Ae —обозначение матрицы оператора A в некотором базисе или в базисе .
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема (связь координат образа и прообраза). Если в пространстве Rn определен некоторый базис, и — векторы (столбцы) из Rn и , то векторы-столбцы их координат в этом базисе связаны соотношением , где A — матрица оператора A в этом же базисе.
Между множеством линейных операторов, действующих в Rn и множеством квадратных матриц порядка n можно установить взаимно однозначное соответствие.
Примеры.
Матрица нулевого оператора: поскольку то и, следовательно матрица нулевого оператора — нулевая матрица;
матрица тождественного (единичного) оператора:поскольку , то (единица на i-м месте), и, следовательно матрица тождественного оператора — единичная матрица;
матрица оператора проектирования пространства Rn на подпространство Rn-1 параллельно вектору : поскольку , то и, следовательно у матрицы A оператора проектирования последний столбец нулевой и она имеет вид:
матрица оператора поворота пространства R3 против часовой стрелки на угол ? относительно оси вектора : поскольку , то и, следовательно у матрицы A оператора пооворота имеет вид:
Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса
Как уже отмечалось, в пространстве Rn существует множество различных базисов.
Пусть и — двабазиса в Rn.
Обозначим и координаты векторов и из Rn и матрицу оператора A соответственно в базисах и , а — матрица перехода от базиса к базису , т.е.
,
,
Тогда
откуда имеем
— формулы преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса.
Действия с линейными операторами
Для линейных операторов, как и для всех других новых объектов, с которыми мы познакомились в курсе линейной алгебры, можно определить линейные операции — операции сложения и умножения на число.
Определение. Суммой операторов A и B называется оператор, определенный в Rn на и действующий следующим образом: .
Определение. Произведением оператора A на число называется оператор, определенный в Rn на и действующий следующим образом:
Определение. Произведением AB операторов A и B называется оператор, определенный в Rn на и действующий следующим образом:
На лекции доказано, что сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на действительное число и произведение линейных операторов — линейный оператор.
Нетрудно доказать следующее утверждение: матрица суммы операторов в некоторм базисе равна сумме матриц слагаемых в том же базие, матрица оператора, являющегося произведением оператора на число — произведению матрицы оператора на число, а матрица произведения операторов — произведение матриц сомножителей.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Пусть V и W – линейные пространства размерностей n и m соответственно. Будем называть оператором, или преобразованием, А, действующим из V в W, отображение вида А: , сопоставляющее каждому элементу некоторый элемент . При этом будем использовать обозначение А или А.
Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W, т. е. О: О . Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых двух элементов из V и произвольного числа выполняются следующие свойства:
1) АА+А (свойство аддитивности);
2) АА (свойство однородности).
Оператор Е, определяемый равенством Е для любого из V, назовем тождественным, или единичным. Оператор (–А), определяемый равенством (–А )–А для всех из V, назовем противоположным.
Пусть А и В – два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем оператор А + В, определяемый равенством (А + В)А+В для любого из V. Легко видеть, что сумма линейных операторов тоже будет линейным оператором.
Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:
1. А + В = В +А.
2. (А +В) +Е = А + (В + Е).
3. А + О = А для любого А.
4. (–А) + А = О.
Произведением линейного оператора на скаляр α назовем оператор αА, определяемый равенством А)А. Ясно, чтоαА – тоже линейный оператор.
Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:
1. А = А; 0А = О; (–1)А= –А.
2. βА) А.
3. А = А + βА.
4. (А + В) = А + В.
Обозначим через множество всех линейных операторов, действующих из V в W.
Произведением линейных операторов А и В из называется оператор АВ, определяемый следующим образом: (А В)А(В для любого из V. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.
Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:
1. АВ) = (А )В.
2. (АВ)Е = А (ВЕ).
3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ, Е(А + В) = ЕА + ЕВ.
Умножение линейных операторов, вообще говоря, некоммутативно.
Легко увидеть, что для всякого линейного оператора А А. При этом если А только при , то оператор называетсяневырожденным; если же найдется такой вектор , что А, то оператор А – вырожденный.
Линейный оператор В из называется обратным для оператора А из , если выполняется соотношение АВ = ВА = Е. Обратный оператор обычно обозначается как А–1. Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы он был невырожденным.
Будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам и отвечают различные элементы А и А. Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.
Ядром линейного оператора А из называется множество всех тех элементов пространства V, для которых А. Обозначается как kerА. Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы kerА = .
Областью значений линейного оператора А из или образом пространства V при преобразовании А называется множество всех тех элементов пространства V, представимых в виде А, где . Обозначается как imА. Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы imА = V. Область значений и ядро линейного оператора А из являются подпростанствами в V.
Рангом линейного оператора А называется число, обозначаемое символом rangА и равное размерности области значений оператора АrangА=dim(imА). Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы rangА = dimV = n.
Размерность ядра kerА называется дефектом линейного оператора А. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерностиn пространства V.
– Конец работы –
Используемые теги: Список, основных, статей, ной, алгебре0.054
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Список основных статей по линейной алгебре
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов