рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства

Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства - раздел Математика, Список основных статей по линейной алгебре Определение 1. ...

Определение 1. -мерным аффинным пространством над полем называется множество точек и векторов, удовлетворяющих следующим аксиомам:

1. Существует по меньшей мере одна точка¹⁾.

2. Каждой паре точек , заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор, который обозначается через .

3. Для каждой точки и каждого вектора существует одна и только одна точка такая, что ²⁾.

4. (Аксиома параллелограмма.) Если , то .

5. Каждому вектору и каждому числу поставлен в соответствие определенный вектор, который обозначается и называется произведением вектора на число .

6. для любого вектора .

7. для всех .

8. для любых векторов .

9. для всех .

10. Существует линейно независимых векторов, но любые векторов линейно зависимы между собой.

Пример 1. Трехмерное пространство является аффинным пространством, где точками служат упорядоченные тройки чисел .

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Список основных статей по линейной алгебре

Базис и размерность векторного пространства Определение порождает линейно... Билинейное... Векторное пространство Определение для всех для всех...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Список основных статей по линейной алгебре
§ Аффинное пространство § Базис и размерность векторного пространства § Билинейное отображение § Ве

Определение
Определение 1. Базисом1) ненулевого векторного пространства

Переход от одного базиса к другому
Пусть —

Определение
Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо,

Билинейная форма
Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо,

Матрица билинейной формы
В случае, когда и

Определение
Определение 1. Пусть — некоторое поле. Абелева группа1)

Подпространство векторного пространства
Определение 2. Непустое множество векторов векторного пространства

Факторпространство
Пусть — подпространство векторного пространства

Определение
Пусть — векторное пространство над полем

Двойственный базис
Предложение 1. Пусть — векторное пространство размерности

Жорданова матрица
Для произвольного поля определены матрицы специального вида с элементами из

Жорданова нормальная форма
Пусть — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве

Корневые подпространства
Пусть — собственное значение линейного оператора

Определение
Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо,

Определение
Пусть — векторное пространство над полем

Матрица квадратичной формы
Определение 2. Пусть — квадратичная форма на конечномерном векторном пр

Квадратичная форма на вещественном векторном пространстве
Пусть — конечномерноевекторное пространство над полем действительных чисел

Закон инерции квадратичных форм
Определение 1. Говорят, что квадратичная форма в базисе

Положительная определенность
Определение 3. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее ранг равен размерности

Неопределенной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Пример 1. Пусть имеет в некотором базисе

Линейная зависимость
Пусть — (левый) модуль над ассоциативным кольцом

Линейные комбинации. Линейная оболочка
Пусть — некоторое подмножество элементов из

Линейная зависимость
Определение 3. Набор элементов модуля

Определение
Определение 1. Линейное пространство над полем

Определение
Определение 1. Пусть — векторные пространства над полем

Частные случаи
Определение 3. Линейное отображение называется линейным оператором

Свойства линейного отображения
Определение 5. Ядром9) линейного отображения

Основные определения
Определение 1. Матрицей1) размера

Транспонирование
Пусть — матрица порядка

Сложение и умножение на скаляр
Пусть и

Умножение матриц
Пусть и

Определение
Определение 1. Пусть и

Определение
Определение 1. Многочлен минимальной степени, аннулирующий оператор

Определение
Пусть — линейный оператор с матрицей

Определитель
Пусть — квадратная матрица порядка

Свойства определителя
Предложение 1. Определитель квадратной матрицы и определитель транспонирова

Пересечение и сумма
Пусть и

Внутренняя прямая сумма
Определение 2. Пространство называется прямой суммой2

Внешняя прямая сумма
Пусть и

Горизонтальный и вертикальный ранг
Пусть — поле, и

Элементарные преобразования матрицы
Определение 3. Элементарными преобразованиями3) строк матрицы называются преобразования следующих трех типов: 1. перестановка двух строк,

Минорный ранг
Определение 5. Число называется минорным рангом5)

Определение
Пусть — (левый) модуль над ассоциативным кольцом

Скалярное произведение
Определение 1. Пусть — векторное пространство над полем

Евклидово пространство
Определение 2. Евклидовым векторным пространством2) называется векторное пространство над полем

Алгебраическое дополнение
Определение 3. Пусть — минор порядка

Теорема Лапласа
Теорема 1. (Теорема Лапласа) Зафиксируем в квадратной матрице

Решение.
Способ 1. Вычислим определитель по «правилу треугольника». .

Определители высших порядков
Задача 3. Вычислить определитель . Решение.

Собственные вектора и собственные значения
Определение 2. Ненулевой вектор из одномерного подпространства, инвариантного относительно

Характеристический многочлен
Определение 5. Характеристическим многочленом11) оператора

Правило Крамера
Задача 1. Решить систему линейных уравнений

Базис и размерность пространства
Так как в линейном пространстве векторы можно складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости сис

Решение.
По определению ядро линейного оператора , или ker