Вариация – понятие, показатели вариации

Значения экономических показателей, образующих вариационный ряд, постоянно изменяются, т.е. варьируют. Вариация – это колеблемость, многообразие, изменяемость варианты признака единиц совокупности.

Вариация обусловлена действием большого числа факторов на экономический показатель. Например, зарплата работника может меняться из-за спроса на продукцию предприятия, уровня его квалификации, состояния здоровья, уровня образования, стажа работы и т.д. Изучение величины и характера вариации, выявление факторов, обусловивших вариацию, взаимосвязь факторов между собой и результативным показателем является одной из центральных задач статистики. Для решения этой задачи используется большой набор способов, коэффициентов, показателей. Рассмотрим некоторые их них на следующем примере.

Пример. Статистическое наблюдение за ежедневным оборотом группы частных предпринимателей дало следующие результаты (табл. 5.1)

Таблица 5.1

Ежедневный оборот в тыс. руб.()	Кол-во предпринимателей ()
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Итого

Оценим вариацию признака (оборота), приведенного в табл.5.1 с помощью таких показателей, как размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и другие. Рассмотрим их.

Размах вариации- это величина, интервал, в пределах которой изменяется варьирующий признак, он равен

. (5.1)

В графе 1 таблицы 5.1 находим максимальное и минимальное значения варианты признака и определяем размах вариации

R=4,0 - 1,0 = 3 тыс. руб.

Недостатком данного показателя является то, что максимальное и минимальное значения варьирующего признака могут быть нетипичными для данной совокупности. В результате мы получим искаженную оценку колеблемости признака. Чтобы получить более точную оценку вариации, для этого могут быть использованы следующие средние величины.

Среднее линейное отклонение - это среднеарифметическая величина из абсолютных значений отклонений вариант от средней величины. Показатель может иметь простую или взвешенную форму

. (5.2)

Расчет поведем по данным таблицы 5.1 (табл. 5.2)

 

Таблица 5.2

.()	()	()
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0		3,0 6,0 14,0 25,0 24,0 21,0 16,0	1,595 1,095 0,595 0,095 0,405 0,905 1,405	4,785 4,38 4,165 0,95 3,24 5,43 5,62
Итого		109,0		28,57

Вначале по итоговым данным граф 2,3 таблицы 5.2 рассчитаем средний ежедневный оборот как среднеарифметическую взвешенную величину

Затем рассчитаем данные в графах 4 и 5 таблицы 5.2. В итоге среднелинейное взвешенное отклонение будет равно

Расчет показывает, что в среднем все варианты признака отклоняются от среднего ежедневного оборота на 0,68 тыс. руб. Недостатком данного показателя является трудность его расчета из-за использования абсолютного значения.

Дисперсия – это средний квадрат отклонения вариант признака от среднего значения признака. Она бывает простой и взвешенной и определяется соответственно следующим образом

. (5.3)

Рассмотрим расчет дисперсии на примере данных таблицы 5.1 (табл.5.3).

Вначале определим среднюю величину ежедневного оборота как среднеарифметическую взвешенную

Затем определим данные в графах 4,5,6 таблицы 5.3. На основе данных граф 2, 6 определим дисперсию

Расчет показывает, как в среднем варьируют отдельные варианты признака вокруг средней. Однако интерпретировать полученную величину достаточно трудно, так как она имеет единицу измерения в квадрате. Чтобы обойти этот момент, используется среднее квадратическое отклонение или стандартное отклонение.

.

Таблица 5.3

()	()	()
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0		3,0 6,0 14,0 25,0 24,0 21,0 16,0	-1,595 -1,095 -0,595 -0,095 0,405 0,905 1,405	2,544 1,199 0,354 0,009 0,164 0,819 1,974	7,632 4,796 2,478 0,09 1,312 4,914 7,896
Итого		109,0			29,118

 

Дисперсия обладает рядом свойств, которые могут быть использованы при различных расчетах. Отметим отдельные свойства.

1 СвойствоДисперсия постоянной величины (с) равна нулю.

(5.4)

Поскольку постоянная величина не варьирует, постольку и ее дисперсия равна нулю.

2 Свойство.Если все значения вариант признака уменьшить на постоянную величину (с), то дисперсия не изменится.

.. (5.5)

Данное свойство дисперсии основано на свойстве среднеарифметической, которое говорит о том, что если уменьшить варианты признака на постоянную величину, то на столько уменьшится среднеарифметическая. Таким образом

(5.6)

Данное свойство позволяет рассчитывать дисперсию не по исходным значениям вариант, а по уменьшенным на выбранную постоянную величину.

3.Свойство. Если уменьшить все варианты признака в k раз, то и дисперсия уменьшится в k² раз

. (5.7)

Данное свойство позволяет сначала рассчитать дисперсию по вариантам, уменьшенным в k раз, а затем определить исходное значение дисперсии .

4.Свойство Дисперсия, исчисленная относительно любой постоянной величины (с), не равной среднеарифметической, всегда больше дисперсии, исчисленной относительно среднеарифметической

. (5.8)

Из данного неравенства вытекает следующие два равенство:

. (5.9)

Рассмотренное 4 свойство говорит о минимальности вариации признака относительно среднеарифметической, поскольку среднеарифметическая является типической величиной

Надо отметить, что расчет дисперсии напрямую достаточно громоздок, особенно когда данные выражены большими числами. Существует ряд методов, которые позволяют сделать расчет дисперсии более простым. Один из методов основан на упрощении формулы дисперсии следующим образом

(5.10)

По данным таблицы 5.3 проведем расчет дисперсии другим методом, используя формулу 5.10 (табл.5.4)

Таблица 5.4

()	()	()
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0		3,0 6,0 14,0 25,0 24,0 21,0 16,0	1,0 2,25 4,0 6,25 9,0 12,25 16,0	3,0 9,0 28,0 62,5 72,0 73,5 64,0
Итого		109,0		312,0

Вначале рассчитаем значения граф 4,5 таблицы 5.4. Затем определим средний квадрат признака ()

Затем определим квадрат средней величины

Теперь с помощью модифицированной формулы 5.10 определим и саму дисперсию

Если сравним расчет дисперсии в таблице 5.3 и в таблице 5.4, то увидим расхождение в 0,001. Это расхождение обусловлено округлением результатов расчета.

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) – это корень квадратный дисперсии. Оно может простым или взвешенным и определяется следующим образом

. (5.11)

Стандартное отклонение дает реальную оценку вариации признака, поскольку данный показатель измеряется в тех же единицах измерения, что и сам признак. Напомним, что единица измерения дисперсии дается в квадрате.

Свойства стандартного отклонения аналогичны свойствам дисперсии. Например, если уменьшить все варианты признака в k раз, то и стандартное отклонение уменьшится в k раз и т.д.

Стандартное отклонение можно приблизительно определить, если распределение признака близко к нормальному.

 

 

, (5.12)

где R – размах вариации.

Данное правило еще называется правилом шести сигм.

При анализе статистических рядов распределения, близких к нормальному распределению, существует зависимость между величиной стандартного отклонения и количеством единиц совокупности. Например, в пределах располагается 68,3% единиц совокупности, в пределах-95,4%, в пределах -99,7%. Последнее условие еще называется правилом трех сигм. Таким образом, зная стандартное отклонение, мы может представить себе, как распределены единицы совокупности вокруг средней. Отсюда, чем меньше стандартное отклонение, тем более концентрированно распределены единицы совокупности вокруг средней, тем однороднее совокупность, тем средняя весомее отражает типическую величину совокупности.

Относительные показатели вариацииЧасто при анализе вариационных рядов возникает необходимость сравнить вариацию в двух и более рядах. Препятствием для этого может служить несопоставимость рядов, например из-за различных единиц измерения и т.д. Обойти данный момент можно с помощью относительных показателей вариации, поскольку они являются безразмерными. К их числу относятся:

а) коэффициент осцилляции

; (5.13)

б) линейный коэффициент вариации

: (5.14)

в) коэффициент вариации

. (5.15)

Коэффициенты позволяют не только оценить уровень вариации признака, но и оценить степень однородности совокупности. Так, если коэффициент вариации не превышает 33% , то совокупность считается однородной.

Пример.В цехе работает 6 бригад, которые имеют разную численность () и разную среднюю зарплату в бригаде (). Необходимо определить, какой признак больше варьирует (численность или средняя зарплата) (табл.5.5).

Решить данную задачу, используя, например, среднее линейное отклонение или стандартное отклонение, мы не может, так как у одного признака (численности) единицей измерения является количество, а у другого признака (средняя зарплата) – рубль. Поэтому для решения задачи используем, например, коэффициент вариации.

Вначале определим среднюю численность бригады и среднюю зарплату по всем бригадам, используя итоговые данные граф 2,3 таблицы 5.5.

 

Таблица 5.5

№	()	()
			173б,139 20069,539 3402,739 69,439 1736,139 25069,339	0,689 1,369 4,709 0,029 0,689 3,349
итого			52083,333	10,834

Средняя численность в бригаде равна

Средняя зарплата по бригадам равна

Стандартное отклонение от средней численности в бригаде равно

Стандартное отклонение от средней зарплаты по бригадам равно

Теперь определим коэффициент вариации численности и зарплаты

Сравнивая коэффициенты вариации численности и зарплаты можно сказать, что по бригадам вариация по средней зарплате очень незначительная (3,38%), вариация же численности рабочих в бригадах более высокая (19,12%). Вместе с тем показатели говорят, что совокупность (бригады) по каждому признаку достаточно однородна.