Центры распределения вариационного ряда

Для всесторонней оценки вариационного ряда, наряду со среднеарифметической, широко используются и другие показатели центра распределения вариационного ряда. Это, в первую очередь, мода и медиана. Эти показатели дают более устойчивое значение средней величины по сравнению со среднеарифметической в случае, когда границы крайних интервалов не ограничены или когда на них приходится значительная часть единиц совокупности. Рассмотрим эти показатели.

Мода (М_о) Мода – это варианта признака, которая в данном вариационном ряде чаще всего встречается. В дискретном вариационном ряде модой будет варианта, которая имеет наибольшую частоту или частость. Например, реализация обуви в магазине в отчетном месяце характеризовалась следующими данными (табл.5.9)

Таблица 5.9

Размер обуви	x_i
Объем реализации	y_i

Модальной вариантой в данном примере будет 41 размер обуви, так как он имеет наибольший объем реализации (наибольшую частоту).

Если вариационный ряд задан в виде интервального распределения с равными интервалами, то сначала находится группа, которая имеет наибольшую частоту. Эта группа будет называться модальной группой. Затем уже внутри этой группы ищется мода, т.е. варианта с наибольшей частотой следующим образом

, (5.23)

где: – нижняя граница модальной группы;

– величина интервала модальной группы;

– частота модальной группы;

– частота группы, предшествующая модальной группе;

– частота группы, следующая за модальной группой.

Пример.Статистическое наблюдение о распределении рабочих по стажу работы в вечерней смене цеха №1 дало следующие результаты (табл.5.10)

Таблица 5.10

Группы рабо-чих по стажу	Число рабочих ()	Накопленная частота ()

0-4 4-8 8-12 12-16 16-20 20-24 24-28
Итого

По графе 2 таблицы 5.10 определим наибольшее число рабочих в группе (модальную частоту). Оно равно 10 рабочим. Этому числу соответствует группа рабочих со стажем 12-16 лет, Данная группа и будет модальной. Теперь определим значение моды по вышеприведенной формуле

Расчет показывает, что в вечерней смене наибольшее число рабочих имеют стаж работы 13,33 года.

Если вариационный ряд имеет неравные интервалы, то в приведенной формуле вместо частот необходимо использовать частости.

Медиана (М_е) Другим важным центром распределения единиц совокупности является медиана. Медиана – это варианта, которая приходится на середину вариационного ряда и относительно которой ряд делится пополам.

Для дискретного вариационного ряда медиана находится следующим образом:

1) определяется номер медианной единицы ряда по формуле

, (5.24)

где – число единиц совокупности в ряде.

Если нечетно, то номер медианной единицы будет соответствовать конкретной варианте. Если четно, номер медианной единицы будет лежать между вариантами.

2) рассчитывается минимальная накопленная частота до тех пор, пока она не превысит (станет больше или равна) номера медианной единицы

3) определяется варианта, которая соответствует выбранной величине накопленной частоты. Эта варианта и будет медианой.

Рассмотрим два примера расчета медианы в дискретном вариационном ряду. В первом примере варианты имеют равную частоту (единицу), а во втором ряду – разную.

Пример 1.В бригаде рабочие за последний месяц имели следующий заработок (табл.5.11)

Таблица 5.11

Заработок в руб.()	Кол-во рабочих ()	Накопленная частота ()

По формуле 5.24 найдем номер медианной единицы . Затем в графе3 начнем рассчитывать накопленную частоту до тех пор, пока она не превысит или станет равной медианному номеру. В нашем примере накопленная частота, равная 4, соответствует рассчитанному медианному номеру – 4. Накопленной частоте соответствует заработок в 2710 руб., который и будет медианой. А это означает, что относительно данной варианты (заработок) ряд делится пополам. С учетом этого можно сказать, что 50% рабочих имеют заработок меньше или равно 2710 руб., а 50% рабочих имеют заработок больше или равно 2710 руб.

Пример 2.За один день в магазине было реализовано 14 пар обуви, которые распределены по размерам следующим образом (табл.5.12)

Таблица 5.12

Размер обуви ()	Кол-во пар ()	Накопленная частота ()

Итого

Найдем номер медианной единицы . Найденный номер медианной единице находится в минимальной сумме накопленной частоты, равной 11. Этой накопленной частоте соответствует варианта с 41 размером обуви. Данная варианта и будет медианой. Относительно ее ряд делится пополам. С учетом этого можно сказать, что 50% проданной обуви (7 пар) соответствовали размеру с39 по 41, а 50% проданной обуви (7 пар) соответствовали размеру с 41 по 42.

Для интервального вариационного ряда (независимо от типа интервала – равного, неравного) медиана может быть определена следующим образом:

1) определяется номер медианной единицы ряда;

3)по выбранной величине накопленной частоты определяется соответствующая ей группа, которая будет содержать медиану. Эта группа будет называться медианной;

5) рассчитывается медиана

, (5.25)

где: – нижняя граница группы, содержащая медиану;

– величина интервала группы, содержащая медиану;

– сумма накопленной частоты в группе, предшествующей медианной группе;

– сумма частот (объем совокупности);

– частота медианной группы.

По данным таблицы 5.10 определим медиану, которая бы делила рабочих (совокупность) на две равные части.

По формуле 5.24 определим номер медианной единицы ряда

В графе 3 таблицы 5.10 определим наименьшую сумму накопленной частоты, которая содержала бы медианный номер или была бы ему равна. Этому условию соответствует накопленная частота, равная 20. А ей соответствует группа рабочих со стажем работы 12-16 лет. Эта группа и будет медианной группой. Теперь определим саму медиану

Расчет показывает, что стаж работы в 14 лет является медианой, которая делит всю группу рабочих (совокупность) на две равные части: 50% (15 человек) имеют стаж работы от 0 до 14 лет и 50% (15 человек) имеют стаж от 14 до28 лет.