Массовые явления обладают как общими для всей совокупности, так и индивидуальными свойствами. Различия между индивидуальными явлениями называется вариацией. Варианту можно представить следующим образом:
Δi
где xi- варианта, с - общность, которая характеризуется средними величинами, Δi - индивидуальность, которая характеризуется показателями вариации.
В широком понимании средней величиной является всякий обобщающий показатель.
Средняя, являясь обобщенной характеристикой всей статистической совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности. Формальное определение среднего следующее: средней величиной множества x1,x2,...,xn является такая величина , рассмотрение которой в качестве n раз позволяет сохранить некоторые математические свойства множества.
Раскрытие функции F(x1, x2, x3, ..., xn) приводит к построению различных средних, среди которых наиболее широко используются степенные средние вида:
.
Придавая z различные значения, получим различные виды средних:
Z=-1 - средняя гармоническая
Z=0 - средняя геометрическая
Z=1 - средняя арифметическая
Z=2 - средняя квадратическая
Все средние связаны правилом, которое называется правилом мажорантности средних:
Xh<=Xg<=Xa<=Xq
Рассмотренные средние называются простыми.
Пример. Есть предприятие, на котором работает 1000 рабочих и 10 оправляющих, которые получают в среднем соответственно 5000 и 50000 рублей. Опр. среднюю з/п.
(5000+50000)/2 = 27500 – простая средняя
(1000*5000+10*50000)/1010 = 9000 – взвешенная средняя
Если средняя величина служит для характеристики обобщенных показателей системы, то используются не простые, а взвешенные средние. Обобщающая формула для взвешенных средних следующая:
где f - веса вариант, частоты или частности.
Наиболее часто в качестве средних используется средняя арифметическая.