СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОСТАЯ И ВЗВЕШЕННАЯ

Под средней арифметической понимается та­кое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности. В общем случае ее вычисление сводится к суммированию всех значений варьирующегося признака и деле­нию полученной суммы на общее количество еди­ниц совокупности. Следует применить формулу простой средней арифметической:

 

 

Наряду с простой средней арифметической изу­чают среднюю арифметическую взвешенную, ко­торую используют, когда значения вариантов встречаются по несколько раз. Формула средней арифметической взвешенной имеет вид:

 

 

где х_i — варианты осредняемого признака;

f_i — частота, которая показывает, сколько раз встречается i-oe значение в совокупности.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда общий объем варьирующегося при­знака для всей совокупности образуется как сум­ма значений признаков у отдельных ее единиц.

Часто при проведении статистических исследо­ваний приходится вычислять средние величины по данным вариационных рядов. Если ряд является дискретным, то для вычисления средней нужно значения вариантов умножить на соответствую­щие частоты и сумму этих произведений разде­лить на сумму частот.

Для интервального вариа­ционного ряда для каждой группы находится среднее значение интервала как полусуммы его верхней и нижней границ. Эти средние значения интервалов и будут новыми значениями вариан­тов, подлежащих усреднению.

Для моментного ряда с равными интервалами между датами (на­пример, когда известны уровни на начало каждого месяца или квартала, года) расчет среднего уров­ня ряда производится по формуле средней хронологической (модифицированная средняя арифме­тическая):

 

 

Определение средней арифметической в ряде случаев сопряжено с большими затратами време­ни и труда. Однако процедуру расчета средней можно упростить, если воспользоваться некото­рыми ее свойствами:

1) средняя постоянной величины равна ей самой:

А=А

2) произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты;

3) изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же величину;

4) изменение каждого варианта в одно и то же чис­ло раз изменяет среднюю во столько же раз;

5) изменение каждого из весов в одно и то же количество раз не изменяет величины средней;

6) алгебраическая сумма отклонений всех ва­риантов от средней равна 0;

7) средняя суммы равна сумме средник.