Расчет средних величин

Вид средней выбирается на основе исходной статистической информации и экономического содержания показателя. Например, средняя заработная плата одного работника базового предприятия определяется отношением фонда заработной платы к числу работников. Если имеются данные по цехам предприятия о заработной плате и численности работников, то средняя заработная плата работников предприятия будет исчислена по формуле средней арифметической взвешенной:

,

где - средняя заработная плата работников базового предприятия;

- заработная плата работника;

f - число работников;

- фонд заработной платы работников цеха.

Если даны показатели заработной платы по цехам предприятия и фонд заработной платы в цехах базового предприятия, то средняя заработная плата работников предприятия будет исчислена по формуле средней гармонической взвешенной:

=,

где - заработная плата работников базового предприятия;

- фонд заработной платы работников каждого цеха ().

Аналогичен подход к расчету других средних показателей: урожайности, цены, себестоимости, выработки продукции, затрат времени, процента выполнения плана и т. д.

Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые называют структурными средними. К таким показателям относятся мода и медиана.

Модой (Мо) называется чаще всего встречающийся вариант, или модой называется то значение признака, которое соответствует максимальной точке кривой распределений.

В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой.

В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант так называемого модального интервала, т. е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала необходимо найти то значение признака, которое является модой.

Для примера целесообразно привести следующую таблицу.

 

Таблица 4 – Изучение опыта работников

 

Стаж работы (лет)	Число работников
До 2 2-4 4-6 6-8 8-10 Свыше 10

 

Решение вопроса состоит в том, чтобы в качестве моды выявить середину модального интервала. Конкретное значение моды для интервального (симметричного или несимметричного) ряда определяется формулой

,

где – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

– частота, соответствующая модальному интервалу;

– частота, предшествующая модальному интервалу;

– частота интервала, следующего за модальным.

В нашем примере (табл.4) модальным интервалом величины стажа работников торгового предприятия будут 6–8 лет, а модой продолжительность стажа

Мода – это понятие, часто встречающееся в практике и находящее широкое применение.

Медиана (Ме) — это значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Медиана – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значение варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, другая – большие.

Для ранжированного ряда (то есть построенного в порядке возрастания или убывания величин) с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда.

Если число членов ряда – четное, то медианой является средняя арифметическая от двух смежных центральных вариант:

.

В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий:

– располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру;

– определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал.

Медиана будет там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая накопленная частота меньше половины численности совокупности.

Если предполагать, что внутри медианного интервала нарастание или убывание изучаемого признака происходит по прямой равномерно, то формула медианы в интервальном ряду распределения будет иметь вид

где – нижняя граница медианного интервала;

– величина медианного интервала;

– сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

– частота медианного интервала.

В нашем примере медианным является интервал 6-8 с частотой 35, его накопленная частота 82 (4 +23 + 20 + 35) превышает половину суммы всех частот (100 / 2 = 50):

Для характеристики колеблемости признака применяют различные обобщающие показатели. К абсолютным показателям рассеивания относятся размах вариации (колебаний), среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Наиболее простой из них – размах вариации (амплитуда вариации).

Размах вариации, или размах колебаний представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:

.

Величина R показывает, в каких пределах колеблется размер признака, образующего ряд распределения. Показатель R выражается в тех же единицах измерения, что и варианты ряда.

Безусловным достоинством этого показателя (размаха вариации) является простота расчета. Однако размах вариации зависит от величины только крайних значений признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду, поэтому область его применения ограничена достаточно однородными совокупностями. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением ее размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и дает обобщенную характеристику.

Для получения обобщающей характеристики распределения отклонений значений признака используют среднее линейное отклонение d.

Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений индивидуальных значений признака от средней.

Для несгруппированных данных:

для сгруппированных данных:

Среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко, так как во многих случаях этот показатель не устанавливает степень рассеивания. Среднее линейное отклонение применяют только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл. С его помощью, например, анализируется состав работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.

Более объективно меру вариации отражает показатель дисперсии. Дисперсия признака (s²) представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины:

или

Дисперсия имеет большое значение в статистическом анализе. Однако ее применение как меры вариации в ряде случаев бывает не совсем удобным, потому что размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака.

В таких случаях для измерения вариации признака используют среднее квадратическое отклонение. Оно представляет собой корень квадратный из дисперсии:

или

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность. Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее (количественно) совокупность и тем более типичной будет средняя величина.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т. д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях.

Для осуществления такого рода сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим используют относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической (или медиане) и чаще всего выражаются в процентах.

Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания вариант в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умноженное на 100%.

Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической и выражается в процентах:

Если V не превышает 33%, то совокупность по рассматриваемому признаку можно считать однородной. Чем меньше коэффициент вариации, тем меньше колеблемость признака, и наоборот.

Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины:

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней: