Область принятия критерия

Статистический вывод неверно формулировать в виде: генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения. Можно лишь утверждать, что данная выборка согласуетсяс гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами , на уровне значимости .

З а м е ч а н и е: критерий использует тот факт, что случайная величина имеет распределение, близкое к нормальному. Чтобы это утверждение было достаточно точным, необходимо выполнение условия для всех интервалов. Интервалы, для которых это условие не выполняется, следует объединить с соседними.

 

 

Требуется для выборки (таблица 1) с помощью критерия согласия Пирсона проверить гипотезу о виде распределения генеральной совокупности (нормальное распределение) на уровне значимости . Сделать статистический вывод.

Для данной выборки объема n=100 ранее были вычислены выборочное среднее и модифицированная выборочная дисперсия

, составлен группированный вариационный ряд (таблица 6), а также выдвинута гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности.

Вычислим теперь вероятности попадания значений случайной величины в -тый интервал и выборочное значение статистики критерия : .

Результаты вычислений занесем в таблицу Таблица 6

	-		-3,16839	-0,4992
			-2,59669	-0,4953	0,0039	0,39
			-2,02498	-0,4783	0,017	1,7
			-1,45328	-0,4265	0,0518	5,18
			-0,88157	-0,3106	0,1159	11,59
			-0,30986	-0,1217	0,1889	18,89
			0,261841	0,1026	0,2243	22,43
			0,833547	0,2967	0,1941	19,41
			1,405253	0,4207	0,124	12,4
			1,976958	0,4761	0,0554	5,54
			2,548664	0,4946	0,0185	1,85

Так как в нескольких интервалах не выполняется условие , то объединим эти интервалы с соседними. При объединении интервалов значения и суммируются

Таблица 7

		2,09	1,745502
		5,18	0,917452
		11,59	3,747032
		18,89	0,894235
		22,43	0,931115
		19,41	0,299232
		12,4	0,029032
		7,39	0,050352
сумма			8,614

 

 

Суммируя элементы последнего столбца таблицы, получим

. Число степеней свободы после укрупнения таблицы 10 равно .

Область принятия гипотезы можно записать в виде

,

откуда следует, что критическое значение совпадает с квантилем распределения хи- квадрат с доверительной вероятностью .

В нашем случае и , число степеней свободы . По таблице П 5 Приложения (или функции ХИ2ОБР) находим значение критической точки распределения (квантили) =9,236. Так как , то на данном уровне значимости гипотеза принимается.

Статистический вывод: данная выборка согласуется с гипотезой о нормальном распределении с параметрами , =2,273897 на уровне значимости , то есть вероятность отвергнуть гипотезу , при условии, что она верна, равна .

1.9. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ

ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Интервальное оценивание параметров распределения генеральной совокупности состоит в построении доверительных интервалов.

Доверительным интервалом для параметра называется интервал , содержащий истинное значение параметра с заданной вероятностью . Таким образом, . Число называется доверительной вероятностью, а значение – уровнем значимости.

При построении доверительных интервалов вводят в рассмотрение специально подобранную статистику , распределение которой известно. Наиболее распространенными являются статистики, имеющие нормальное, Стьюдента и распределения.

Методика построения доверительных интервалов для отдельных параметров распределения генеральной совокупности зависит как от вида распределения, так и от знания значений остальных параметров закона распределения.

1.9.1. Рассмотрим задачу построения доверительного интервала для математического ожиданиянормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии.

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и . Найдем доверительный интервал для математического ожидания в предположении, что дисперсия неизвестна и задан уровень значимости .

Английский математик Госсет (псевдоним Стьюдент) доказал, что статистика имеет распределение Стьюдента сстепенями свободы. Так как кривая плотности вероятностей распределения Стьюдента симметрична относительно , будем искать доверительную область в виде: .

Рис. 11