Распределения Стьюдента
Из рисунка 11 видно, что площадь под графиком каждого из симметричных «хвостов» будет равна 
, тогда значения границ интервала совпадут с квантилями 
и 
.
В таблице П 4 Приложения приведены значения 
в зависимости от доверительной вероятности 
и числа степеней свободы 
. Можно также использовать функцию СТЬЮДРАСПОБР пакета прикладных программ EXCEL.
Таким образом, получаем: 
или
.
Подставив в полученное неравенство значения 
, 
, 
, 
и разрешив это неравенство относительно 
, получим доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины 
с неизвестной дисперсией 
и заданным уровнем значимости 
: 
.
Решение. Пункт 9 части 1 Задания.
Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами 
и 
для уровней значимости 
, 
и 
при неизвестной дисперсии.
При построении доверительного интервала для неизвестного математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности используется статистика 
, имеющая распределение Стьюдента с
степенями свободы. Общее уравнение доверительного интервала 
в данном случае имеет вид:
.
Вычислим этот интервал для различных уровней значимости.
: 
, 
,
– число степеней свободы.
Так как в таблице П 4 Приложения нет числа степеней свободы 
, то для вычисления 
можно воспользоваться следующим методом:
Статистическая функция СТЬЮДРАСПОБР пакета EXCEL дает значение квантили 
. Нужно иметь в виду, что в EXCEL вычисляются значения двусторонних «антиквантилей» 
. Поэтому чтобы получить значение односторонней квантили 
, нужно в этой функции задать вероятность 
(см. справку к функции СТЬЮДРАСПОБР).
В дальнейших расчетах используем значения, даваемые EXCEL.
, 
,
Выражая из неравенства неизвестный параметр , получим доверительный интервал для математического ожидания для уровня значимости :
2,8264<m<3,5816
Таким образом, неизвестное математическое ожидание 
с вероятностью 
.
Аналогично найдем доверительные интервалы для математического ожидания для уровней значимости 
и .
: 
, 
, 
,
, 
,
Выражая из неравенства неизвестный параметр , получим доверительный интервал для математического ожидания для уровня значимости 
:
2,752<m<3,655
Таким образом, неизвестное математическое ожидание 
с вероятностью 
.
: 
, 
, 
,
, 
,
.
Выражая из неравенства неизвестный параметр , получим доверительный интервал для математического ожидания для уровня значимости 
:
2,6068<m<3,8012
Таким образом, неизвестное математическое ожидание 
с вероятностью 
.
1.9.2. Определим теперь доверительный интервал для неизвестной дисперсиинормально распределенной случайной величины с неизвестным математическим ожиданием и заданным уровнем значимости .
В этом случае рассматривается статистика 
, имеющая распределение 
сстепенями свободы, где – объем выборки.
 |
Будем искать доверительную область в виде:
.