Коефіцієнт кореляції Спірмена

 

Для оцінки сили зв’язку між Х та Y у випадку, коли між Х та Y існує нелінійний зв’язок або вибіркові дані не розподілені за нормальним законом, слугує коефіцієнт кореляції Спірмена.

Коефіцієнт кореляції Спірмена розраховується за формулою:

, (3.5)

де п – кількість пар вибіркових даних;

– різність між рангами і-го значення Х та відповідного значення Y;

– поправки, що пов’язані з однаковими рангами; розраховуються за формулами:

; , (3.6)

де – кількість зв’язок (груп однакових рангів);

– розміри і-тих зв’язок (кількість елементів в них).

Зауваження 1. Ранги присвоюються вибірковим даним звичайним способом (див. п. 2.3.4).

Зауваження 2. Статистична значущість коефіцієнта кореляції Спірмена перевіряється так, як й коефіцієнта кореляції Пірсона.

 

ПРИКЛАД 3.3. Вивчається залежність між продуктивністю праці робітників Х (тис. грн.) та їх емоційним відношенням до своєї професійної діяльності Y (бали). Відповідні дані подано у таблиці 3.8. Оцінити силу зв’язку між досліджуваними факторами за коефіцієнтом кореляції Спірмена. Перевірити його статистичну значущість.

Таблиця 3.8

Х

Y

Розв’язок. Дані таблиці 3.8 є вибірковими парами значень , ; п – кількість пар, п=15. Знайдемо коефіцієнт кореляції Спірмена, необхідні розрахунки оформимо у вигляді таблиці (табл. 3.9), використовуючи позначення: – ранг х_і, – ранг у_і.

Таблиця 3.9

хі
yі
			4,5				8,5	4,5							8,5
			2,5											2,5
і		-1	-2				2,5	0,5	-4		-4			0,5	5,5
і2							6,25	0,25						0,25	30,25

Пояснимо, як заповнюється рядок 3: знаходимо найменше зі значень х_і (це 26) та присвоюємо йому ранг 1; знаходимо наступне найменше (це 28) і присвоюємо йому ранг 2; наступним найменшим є 31, йому присвоюємо ранг 3; наступними найменшими є два значення 32, якщо б вони були різними, то їм би присвоїли ранги 4 і 5, але оскільки вони однакові, то присвоюємо їм середній ранг ; і т.д.

Знаходимо суму квадратів різностей рангів: =1+4+1+6,25+ +0,25+16+16+1+0,25+30,25=76.

Знаходимо поправки, що пов’язані з однаковими рангами. В ряду рангів є дві групи однакових рангів, в перший з них 2 елемента, в другій теж два. Отже, , .

В ряду рангів є дві групи однакових рангів, в перший з них 2 елемента, в другій три елемента. Отже, , .

Підставимо отримані дані в формули (3.6) і знайдемо поправки:

 

;

 

.

Знайдемо коефіцієнт кореляції Спірмена за формулою (3.6):

 

.

За значенням коефіцієнта кореляції можна зробити висновок, що між Х та Y існує сильний додатній зв’язок.

Перевіримо статистичну значущість знайденого коефіцієнта кореляції. Розрахуємо t-статистику за формулою (3.4): . Знайдемо t_крит, враховуючи, що l=п-2=15-2=13. Оберемо рівень значущості =0,001. Тоді t_крит=СТЬЮДРАСПОБР (0,001; 13)=4,22.

Оскільки розраховане значення t-статистики більше критичного, то коефіцієнт кореляції можна вважати значимим на обраному рівні =0,001.

Висновок. Між продуктивністю праці та емоційним відношенням працівника до професійної діяльності існує сильний додатній зв’язок. Висновок дійсний для всієї генеральної сукупності, з якої було зроблено вибірку.

 

ПРИКЛАД. Для вивчення залежності урожайності зернових культур Z (ц/га) від якості пашні Х (бали) і кількості внесеного добриву Y (кг/га) було проведено дослідження 6 фермерських хазяйств, результати якого надано у таблиці 3.10. Визначити силу зв’язку між Z та Х та Y, використовуючи множинний коефіцієнт кореляції. Порівняти силу зв’язку між Z та Х і між Z та Y за частинними коефіцієнтами кореляції.

Таблиця 3.10

Х
Y	2,1	2,3	2,4	2,6	2,9
Z			22,1	25,3		28,5

Розв’язок. За умов задачі необхідно для об’єкту, що характеризується трьома ознаками Х, Y та Z (k=3), розрахувати множинний коефіцієнт кореляції і частинні коефіцієнти кореляції та на основі 6 взаємопов’язаних тройок вибіркових даних .

Побудуємо матрицю парних коефіцієнтів кореляції, які обчислимо за формулою (3.3). Розрахунки для зручності оформимо у вигляді таблиці (табл. 3.11).

Таблиця 3.11

Розрахункова таблиця	Суми
хі
yі	2,1	2,3	2,4	2,6	2,9		15,3
zі			22,1	25,3		28,5	142,9
	4,41	5,29	5,76	6,76	8,41		39,63
			488,41	640,09		812,25	3489,75
хі yі	54,6	80,5	86,4		118,9		579,4
хі zі			795,6			1282,5	5441,1
yі zі	37,8	48,3	53,04	65,78	81,2	85,5

Отже, за формулою (3.3) маємо: