Коефіцієнт кореляції Спірмена
Для оцінки сили зв’язку між Х та Y у випадку, коли між Х та Y існує нелінійний зв’язок або вибіркові дані не розподілені за нормальним законом, слугує коефіцієнт кореляції Спірмена.
Коефіцієнт кореляції Спірмена розраховується за формулою:
, (3.5)
де п – кількість пар вибіркових даних;
– різність між рангами і-го значення Х та відповідного значення Y;
– поправки, що пов’язані з однаковими рангами; розраховуються за формулами:
; 
, (3.6)
де 
– кількість зв’язок (груп однакових рангів);
– розміри і-тих зв’язок (кількість елементів в них).
Зауваження 1. Ранги присвоюються вибірковим даним звичайним способом (див. п. 2.3.4).
Зауваження 2. Статистична значущість коефіцієнта кореляції Спірмена перевіряється так, як й коефіцієнта кореляції Пірсона.
ПРИКЛАД 3.3. Вивчається залежність між продуктивністю праці робітників Х (тис. грн.) та їх емоційним відношенням до своєї професійної діяльності Y (бали). Відповідні дані подано у таблиці 3.8. Оцінити силу зв’язку між досліджуваними факторами за коефіцієнтом кореляції Спірмена. Перевірити його статистичну значущість.
Таблиця 3.8
| Х | |||||||||||||||
| Y |
Розв’язок. Дані таблиці 3.8 є вибірковими парами значень 
, 
; п – кількість пар, п=15. Знайдемо коефіцієнт кореляції Спірмена, необхідні розрахунки оформимо у вигляді таблиці (табл. 3.9), використовуючи позначення: 
– ранг хі, 
– ранг уі.
Таблиця 3.9
| хі | |||||||||||||||
| yі | |||||||||||||||
|
| 4,5 | 8,5 | 4,5 | 8,5 | |||||||||||
|
| 2,5 | 2,5 | |||||||||||||
 і
| -1 | -2 | 2,5 | 0,5 | -4 | -4 | 0,5 | 5,5 | |||||||
| і2
| 6,25 | 0,25 | 0,25 | 30,25 |
Пояснимо, як заповнюється рядок 3: знаходимо найменше зі значень хі (це 26) та присвоюємо йому ранг 1; знаходимо наступне найменше (це 28) і присвоюємо йому ранг 2; наступним найменшим є 31, йому присвоюємо ранг 3; наступними найменшими є два значення 32, якщо б вони були різними, то їм би присвоїли ранги 4 і 5, але оскільки вони однакові, то присвоюємо їм середній ранг 
; і т.д.
Знаходимо суму квадратів різностей рангів: 
=1+4+1+6,25+ +0,25+16+16+1+0,25+30,25=76.
Знаходимо поправки, що пов’язані з однаковими рангами. В ряду рангів є дві групи однакових рангів, в перший з них 2 елемента, в другій теж два. Отже, 
, 
.
В ряду рангів є дві групи однакових рангів, в перший з них 2 елемента, в другій три елемента. Отже, 
, 
.
Підставимо отримані дані в формули (3.6) і знайдемо поправки:
;
.
Знайдемо коефіцієнт кореляції Спірмена за формулою (3.6):
.
За значенням коефіцієнта кореляції можна зробити висновок, що між Х та Y існує сильний додатній зв’язок.
Перевіримо статистичну значущість знайденого коефіцієнта кореляції. Розрахуємо t-статистику за формулою (3.4): 
. Знайдемо tкрит, враховуючи, що l=п-2=15-2=13. Оберемо рівень значущості 
=0,001. Тоді tкрит=СТЬЮДРАСПОБР (0,001; 13)=4,22.
Оскільки розраховане значення t-статистики більше критичного
, то коефіцієнт кореляції можна вважати значимим на обраному рівні =0,001.
Висновок. Між продуктивністю праці та емоційним відношенням працівника до професійної діяльності існує сильний додатній зв’язок. Висновок дійсний для всієї генеральної сукупності, з якої було зроблено вибірку.
ПРИКЛАД. Для вивчення залежності урожайності зернових культур Z (ц/га) від якості пашні Х (бали) і кількості внесеного добриву Y (кг/га) було проведено дослідження 6 фермерських хазяйств, результати якого надано у таблиці 3.10. Визначити силу зв’язку між Z та Х та Y, використовуючи множинний коефіцієнт кореляції. Порівняти силу зв’язку між Z та Х і між Z та Y за частинними коефіцієнтами кореляції.
Таблиця 3.10
| Х | ||||||
| Y | 2,1 | 2,3 | 2,4 | 2,6 | 2,9 | |
| Z | 22,1 | 25,3 | 28,5 |
Розв’язок. За умов задачі необхідно для об’єкту, що характеризується трьома ознаками Х, Y та Z (k=3), розрахувати множинний коефіцієнт кореляції 
і частинні коефіцієнти кореляції 
та 
на основі 6 взаємопов’язаних тройок вибіркових даних 
.
Побудуємо матрицю парних коефіцієнтів кореляції, які обчислимо за формулою (3.3). Розрахунки для зручності оформимо у вигляді таблиці (табл. 3.11).
Таблиця 3.11
| Розрахункова таблиця | Суми | ||||||
| хі | |||||||
| yі | 2,1 | 2,3 | 2,4 | 2,6 | 2,9 | 15,3 | |
| zі | 22,1 | 25,3 | 28,5 | 142,9 | |||
| |||||||
| 4,41 | 5,29 | 5,76 | 6,76 | 8,41 | 39,63 | |
| 488,41 | 640,09 | 812,25 | 3489,75 | |||
| хі yі | 54,6 | 80,5 | 86,4 | 118,9 | 579,4 | ||
| хі zі | 795,6 | 1282,5 | 5441,1 | ||||
| yі zі | 37,8 | 48,3 | 53,04 | 65,78 | 81,2 | 85,5 |
Отже, за формулою (3.3) маємо:
