Контрольная работа по теории вероятностей И математическая статистика

Контрольная работа по теории вероятностей

И математическая статистика

Для заочного отделения

Вариант 1.

1. В коробке 5 красных, 3 зеленых, 2 синих карандаша. Наудачу без возвращения извлекают три карандаша. Найти вероятности следующих событий:

а) все извлеченные карандаши разного цвета;

б) все извлеченные карандаши одного цвета;

в) среди извлеченных карандашей один синий;

г) среди извлеченных карандашей только два одного цвета.

2. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень, вероятность первого 0,8, а второго – 0,6. Найти вероятности следующих событий: а) оба попали; б) попал один; в) попал хотя бы один.

3. Студент пришел на экзамен, зная 20 билетов из предложенных 30 билетов. Найти вероятность того, что он знает вынутый наудачу билет, если берет билет третьим.

4. В семье 5 детей. Считая вероятности рождений мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков.

5. На конноспортивных соревнованиях необходимо преодолеть четыре препятствия с вероятностями, равными соответственно 0,9; 0,8; 0,7; 0,6. При первой неудаче спортсмен в дальнейших соревнованиях не участвует. Составить закон распределения случайной величины – числа взятых препятствий. Найти числовые характеристики , , , функцию распределения этой СВ, построить полигон распределения вероятностей и график функции распределения.

 

6. Для исследования продуктивности определенной породы домашней птицы измеряют диаметр яиц. Наибольший поперечный диаметр яиц представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним значением 5 см. и средним квадратическим отклонением 0,3 см. Найти вероятность того, что: а) диаметр взятого наудачу яйца будет заключен в границах от 4,7 до 6,2 см; б) отклонение диаметра от среднего не превзойдет по абсолютной величине 0,6 см.

 

7. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность распределения СВ Х, математическое ожидание. Построить графики функций и .

 

Вариант 2.

 

1. Лифт начинает движение с четырьмя пассажирами и останавливается на 10 этаже. Какова вероятность того, что никакие два пассажира не выйдут на одном этаже.

2. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле, первого орудия, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

3. В коробке первоначально находилось 7 цветных и три простых карандаша. Два карандаша были потеряны, и цвета их неизвестны. Из коробки наугад извлечены два карандаша. Найти вероятность того, что извлечены два цветных карандаша.

4. Два равносильных противника играют в шахматы. Для каждого из них, что вероятнее выиграть: а) одну партию из двух или две партии из четырех; б) не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти. Ничьи во внимание не принимаются.

5. Вероятность успешной сдачи экзамена первым студентом составляет 0,7, а вторым 0,8. Составить закон распределения случайной величины – числа студентов, успешно сдавших экзамен, если каждый из них может пересдать один раз экзамен, если он первый раз не сдал. Найти числовые характеристики , , , функцию распределения этой СВ, построить полигон распределения вероятностей и график функции распределения.

6. Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 150 г и математическим ожиданием 1000г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет: а) от 900 до 1300 г; б) не более 1500 г; в) не менее 800 г; г) отличаться от среднего веса по модулю не более чем на 200 г; д) начертить график дифференциальной функции СВ Х.

7. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти функциюраспределения СВ Х, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Построить графики функций и .

 

 

Вариант 3.

 

1. Из 25 студентов группы, 12 занимаются научной работой на кафедре бухгалтерского учета, 7 – экономического анализа, остальные - на кафедре статистики. Какова вероятность того, что два случайно отобранных студента занимаются научной работой на кафедре статистики?

2. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочнике соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится : а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в) во всех трех справочниках; г) хотя бы в одном справочнике; д) ни в одном справочнике.

3. Слово ДИСКЕТА составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Три карточки слова потеряны. Из оставшихся карточек наугад извлекается одна карточка. Найти вероятность того, что извлечена согласная буква.

4. Установлено, что виноградник поражен вредителями в среднем на 10%. Определить вероятность того, что из 10 проверенных кустов винограда один будет поражен. Вычислить по формулам Бернулли, Лапласа, Пуассона. Сравнить результаты, сделать выводы.

5. Игрок поочередно покупает билеты двух разных лотерей до первого выигрыша. Вероятность выигрыша по одному билету первой лотереи составляет 0,2, а второй – 0,3. Игрок вначале покупает билет первой лотереи. Составить закон распределения случайной величины – числа купленных билетов, если игрок имеет возможность купить: а) только 5 билетов; б) неограниченное число билетов. Найти числовые характеристики , , , функцию распределения этой СВ, построить полигон распределения вероятностей и график функции распределения.

6. Количество зерна, собранного с каждой делянки опытного поля, есть нормально распределенная СВ Х, имеющая математическое ожидание 60 кг и среднее квадратическое отклонение равное 1,5 кг. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в котором с вероятностью 0,9906 будет заключена величина Х. Написать дифференциальную функцию этой СВ.

7. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность распределения СВ Х, математическое ожидание. Построить графики функций и .

 

 

Вариант 4.

1. Определить вероятность того, что участник лотереи «Спортлото – 5 из 36» угадает правильно: а) все 5 номеров; б) только три номера?

2. Два игрока поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у которого первым появится шесть очков. Найти вероятность выигрыша каждого игрока.

3. В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во второй. Вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной для первой бригады равна 0,7, для второй – 0,8. Определить вероятность того, что взятая наугад единица продукции будет стандартной. Взятая наугад единица продукции оказалась стандартной. Какова вероятность, что она из второй бригады?

4. Вероятность того, что человек в период страхования будет травмирован, равна 0,006. Компанией застраховано 1000 человек. Годовой взнос с человека составляет 150 руб. В случае получения травмы застраховавшийся получает 12000 руб. Какова вероятность того, что выплата по страховкам превысит сумму страховых взносов?

5. Вероятность работы каждого из четырех комбайнов без поломок в течение определенного времени равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины – числа комбайнов, работавших безотказно. Найти числовые характеристики , , , функцию распределения этой СВ, построить полигон распределения вероятностей и график функции распределения.

6. Урожайность овощей по участкам является нормально распределенной СВ с математическим ожиданием 300ц/га и средним квадратическим отклонением 30 ц/га. С вероятностью 0,9545 определить симметричные относительно математического ожидания границы, в которых будет находиться средняя урожайность овощей на участках.

7. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Построить график функций .

Вариант 5.

 

1. Определить вероятность того, что участник лотереи «Спортлото – 6 из 49» угадает правильно: а) только четыре номера; б) не угадает ни одного номера?

2. Вероятность получить высокие дивиденды по акциями на первом предприятии – 0,2, на втором – 0,35, на третьем – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на одном предприятии.

3. Из 25 студентов группы 5 студентов знают все 30 вопросов программы, 10 студентов выучили по 25 вопросов, 7 студентов - по 20 вопросов, трое – по 10 вопросов. Случайно вызванный студент ответил на два заданных вопроса. Какова вероятность, что он из тех трех студентов, которые подготовили 10 вопросов.

4. Для определения степени поражения винограда вредителями было обследовано 400 кустов. Вероятность поражения куста виноградника равна 0,03. Определить границы, в которых с вероятностью 0,9545 будет заключено число кустов, не пораженных вредителями.

5. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной величины – числа мальчиков в семьях, имеющих четырех детей. Найти числовые характеристики , , , функцию распределения этой СВ, построить полигон распределения вероятностей и график функции распределения.

6. Выборочным методом измеряется засоренность зерна, случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 0,2 г и математическим ожиданием равным нулю. Найти вероятность того, что из четырех независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 0,3 г.

7. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность распределения СВ Х, математическое ожидание. Построить графики функций и .

 

 

Вариант 6

1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 наудачу составляется четырехзначное число так, что каждая из этих цифр не может повторяться. Какова вероятность того, что полученное число оканчивается цифрой 5? Решить эту же задачу при условии повторения цифр в числе.

2. Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй – 12. Каждому студенту задают по одному вопросу. Определить вероятность того, что: а) оба студента правильно ответят на вопрос; б) хотя бы один ответит верно; в) правильно ответит только первый студент.

3. Имеется 5 урн. В первой, второй и третьей находится по 4 белых и 6 черных шаров, в четвертой и пятой урнах – по 2 белых и 3 черных шара. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова вероятность того, что была выбрана четвертая или пятая урна, если извлеченный шар оказался белым?

4. Два стрелка одновременно делают выстрелы по мишени. Сколько нужно произвести залпов, если наивероятнейшее число залпов, при которых оба стрелка попадут в мишень, равно 8, причем вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, а для второго – 0,8.

5. Стрелок производит выстрелы по цели до первого попадания. Составить закон распределения случайной величины – числа выстрелов, сделанных стрелком. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле составляет 0,7. Найти наивероятнейшее число выданных стрелку патронов, числовые характеристики , , , функцию распределения этой СВ, построить полигон распределения вероятностей и график функции распределения.

6. Заряд пороха для охотничьего ружья должен составлять 2,3 г. Заряд отвешивается на весах, имеющих ошибку взвешивания, распределнную по нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 0,2 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес заряда составляет 2,8 г.

7. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Построить график функций .

Вариант 7

1. Ребенок играет с карточками, на которых написаны буквы слова РАДУГА. Он берет четыре карточки и раскладывает их в ряд слева направо. Какова вероятность того, что получится слово ГРАД?

2. В первой бригаде 6 тракторов, во второй – 9. В каждой бригаде один трактор требует ремонта. Из каждой бригады наудачу выбирают по одному трактору. Какова вероятность того, что: а) оба трактора исправны; б) один требует ремонта; в) трактор из второй бригады исправен.

3. Имеются две урны. В первой – 7 красных шаров и 3 черных, во второй – 3 красных и 4 черных. Из первой урны переложили во вторую один шар, затем, перемешав шары, из второй урны переложили в первую один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный после этого из первой урны, окажется красным.

4. В автопарке 400 автомобилей. Вероятность безотказной работы каждого из них равна 0,9. С вероятностью 0,95 определить границы, в которых будет находиться доля безотказно работавших машин в определенный момент времени.

5. В коробке имеются 10 карандашей, среди которых 6 красных. Наудачу извлекаются 4 карандаша. Составить закон распределения случайной величины – числа извлеченных красных карандашей. Найти числовые характеристики , , , функцию распределения этой СВ, построить полигон распределения вероятностей и график функции распределения.

6. Измерение дальности до объекта сопровождается систематическими и случайными ошибками. Систематическая ошибка равна 50 м в сторону занижения дальности. Случайные ошибки починяются нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 100 м. Определить вероятность того, что измеренная дальность не превзойдет истинной.

 

7. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность распределения СВ Х, математическое ожидание. Построить графики функций и .

 

 

Вариант 8

1. Стрелок произвел пять выстрелов в цель. Считая события «попадание в цель» и «промах» равновозможными, найти вероятности следующих событий: а) попаданий больше, чем непопаданий; б) по крайней мере два попадания.

2. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,784. Найти вероятность одного промаха при трех выстрелах.

3. В первой урне 10 деталей, из 8 стандартных. Во второй – 6 деталей, из которых 5 стандартных. Из второй урны переложили в первую одну деталь. Какова вероятность того, что деталь, извлеченная после этого из второй урны, нестандартная?

4. В пчелиной семье 5000 пчел. Вероятность заболевания в течение дня равна 0,001 для каждой пчелы. Найти вероятность того, что в течение дня заболеет более чем одна пчела.

5. Имеются 10 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Наудачу последовательно, без возвращения извлекается по одному билету до первого появления на первый ряд. Составить закон распределения случайной величины – числа извлеченных билетов до появления билета на первый ряд. Найти числовые характеристики , , , функцию распределения этой СВ, построить полигон распределения вероятностей и график функции распределения.

6. Систематическая ошибка удержания высоты самолетом +20 м, а случайная ошибка подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением, равным 10 м. Для полета самолета отведен коридор высотой 100 м. Определить вероятность того, что самолет будет лететь выше коридора, если самолету задана высота, соответствующая середине коридора.

7. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти функциюраспределения СВ Х, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Построить графики функций и .

Вариант 9

 

1. В партии сорок пронумерованных деталей, из которых двенадцать бракованных. Наудачу отбираются восемь деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных восьми деталей бракованных и стандартных будет поровну.

2. Сколько раз необходимо бросить игральную кость, чтобы с вероятностью 0,9 хотя бы один раз выпало не менее четырех очков?

3. Слово ГИПОТЕЗА составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Две карточки слова потеряны. Из оставшихся карточек наугад извлекается одна карточка. Найти вероятность того, что: а) извлечена согласная буква; б) были потеряны две согласные буквы, если извлечена гласная буква.

4. Вероятность того, что автомат при опускании одной монеты сработает правильно, равна 0,99. Найти наиболее вероятное число случаев неправильной работы автомата и вероятность этого числа случаев, если будет опущено 200 монет.

5. В колоде 36 карт. Наудачу извлекается одна карта, фиксируется и возвращается назад. Эксперимент продолжается до первого появления туза. Составить закон распределения случайной величины – числа извлеченных карт. Найти числовые характеристики , , , функцию распределения этой СВ, построить полигон распределения вероятностей и график функции распределения.

6. Производится стрельба по цели из артиллерийского орудия. Принимая, что дальность полета снаряда имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением, равным 20 м, рассчитать, какой процент выпускаемых снарядов будет иметь перелет от 20 до 50 м.

7. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность распределения СВ Х, математическое ожидание. Построить графики функций и .

Вариант 10

 

1. Из колоды в 52 карты наудачу извлекаются семь карт. Какова вероятность того, что: а) среди извлеченных карт хотя бы один туз; б) среди извлеченных карт по одной тройке, семерке и тузу?

2. В первой урне 5 красных, 3 белых и 2 черных шара. Во второй урне 3 белых и два черных шара. Из первой урны взято 2 шара, а из второй – один. Определить вероятность того, что среди них: а) все шара одного цвета; б) все шары разного цвета.

3. Слово ВЕРОЯТНОСТЬ составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Две карточки слова потеряны. Из оставшихся карточек наугад извлекается одна карточка. Найти вероятность того, что: а) извлечена согласная буква; б) были потеряны две согласные буквы, если извлечена гласная буква.

4. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью, не меньшей чем 0,95?

5. Буквы слова КОМБИНАТОРИКА написаны на одинаковых карточках. Наудачу выбирается одна карточка. Если выбрана согласная буква, то карточка возвращается назад, и снова наудачу выбирается карточка. Если выбрана гласная буква, то эксперимент прекращается. Составить закон распределения случайной величины – числа испытаний до первого появления гласной буквы. Найти числовые характеристики , , , функцию распределения этой СВ, построить полигон распределения вероятностей и график функции распределения.

6. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что СВ Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением, равным 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

7. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти функциюраспределения СВ Х, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Построить графики функций и .

 

Задачи по математической статистике

1. По данным таблицы 1, по одному из следующих показателей составить интервальный вариационный ряд с равными интервалами. Найти частоты и частости.… 2. Считая данные задачи 1 результатом 20% случайной бесповторной выборки,…