ТЕМА №11

Припущення 1.Математичне сподівання випадкової величини дорівнює 0.

.

Припущення 2.Випадкові відхилення незалежні між собою.

.

Припущення 3.Модель гомоскедастична, тобто має однакову дисперсію для будь-якого спостереження.

.

Припущення 4.Коваріація між випадковою величиною та кожною незалежною змінною дорівнює 0.

Зазначимо, що припущення 4 виконується автоматично, якщо незалежні змінні не стохастичні та справедливе припущення 1.

Припущення 5.Модель повинна бути правильно специфікованою.

Припущення 6.Випадкова величина нормально розподілена із нульовим математичним сподіванням та постійною дисперсією. Відзначимо, що це припущення випливає із попередніх (на підставі центральної граничної теореми).

Припущення 7(специфічне для багатофакторної регресії, на відміну від простої лінійної регресії). Відсутність мультиколінеарності між факторами , тобто фактори повинні бути незалежними між собою. Іншими словами, не повинно бути лінійного зв’язку між двома або більше факторами.

Етапи побудови багатофакторної регресійної моделі

1. Вибір та аналіз усіх можливих факторів (регресорів), які впливають на показник-результат (регресант), що вивчається.

2. Вимір та аналіз вибраних факторів.

3. Математико-статистичний аналіз факторів.

4. Вибір метода та побудова регресійної багатофакторної моделі.

5. Оцінка невідомих параметрів регресійної моделі.

6. Перевірка моделі на адекватність.

7. Розрахунок основних характеристик та побудова інтервалів довіри.

8. Аналіз отриманих результатів, висновки.

Перший етапскладається з вибору усіх можливих факторів, які впливають на процес або показник, що вивчається. На цьому етапі дослідник повинен глибоко зрозуміти сам економічний процес, розглянути його з макро і мікроекономічних позицій; виявити якомога більше факторів, які в конкретному випадку можуть справити суттєвий або несуттєвий вплив на його зміну. На цьому етапі можуть знадобитись поради практиків, які працюють у галузі або на фірмі, що вивчається і т.і.

На другому етапідослідник повинен оцінити можливість кількісного вираження відібраних факторів, провести вимірювання або зібрати статистику для кількісних факторів; підібрати або розробити балову шкалу оцінок для якісних даних. Якщо деякі фактори неможливо кількісно виразити, наприклад, імідж продукції у населення, їх треба вилучити із подальшого розгляду. Із подальшого розгляду вилучаються також фактори, для яких немає або недоступна статистика.

Третій етапматематико-статистичного аналізу є найважливішим підготовчим етапом для побудови регресійної багатофакторної моделі. На ньому проводиться перевірка основних припущень класичного регресійного аналізу та перевірка факторів на мультиколінеарність. Для цього спочатку будується матриця коефіцієнтів парної кореляції, яка є симетричною і має такий вигляд:

,

де - коефіцієнт парної кореляції між -им та -им факторами; - коефіцієнт кореляції між залежною змінною та -им фактором. Потім аналізуються коефіцієнти парної кореляції між факторами. Якщо значення деяких з них близьке до 1, то це вказує на щільний (сильний) зв’язок між ними (тобто, на мультиколінеарність). У такому випадку один із факторів потрібно вилучити, а інший – залишити. Найчастіше залишають фактор, який з економічної точки зору більш вагомий для аналізу впливу на залежну змінну. Можна також залишити фактор, який має більший коефіцієнт кореляції із залежною змінною . В результаті знаходиться множина незалежних між собою факторів, які є базою для побудови регресійної моделі.

Розглянемо приклад (див.Додаток , на якому усі дані наведені у безрозмірних умовних одиницях).

Маємо вибіркові дані по n=12 однотипним підприємствам, які відображають залежність об’єму випуску продукції V від трьох факторів: капіталу K, живої праці L та коефіцієнту змінності обладнання k.

Модель такого процесу – це виробнича функція

,

тобто, маємо мультиплікативну степеневу регресію. Зауважимо, що вона є лінійною за параметрами . Прологарифмуємо обидві додатні частини:

.

Введемо нові змінні: . Відносно нових змінних отримали лінійну регресію:

, де .

Для зручності вводять «фіктивну» факторну змінну , усі значення якої дорівнюють одиниці. Таким чином, маємо лінійну модель:

.

Спочатку, використовуючи функцію «КОРРЕЛ» Excel будуємо матрицю парних коефіцієнтів кореляції, по яким оцінюємо взаємозв’язок факторів (див.Додаток ). Можна зробити висновок, що фактори Х1 та Х2 досить суттєво впливають на результуючий фактор У, а вплив Х3 на У незначний. Також малі по модулю коефіцієнти кореляції між факторними ознаками дозволяють припустити відсутність мультиколінеарності.

Оцінка параметрів лінійної моделі здійснюється за МНК, розв’язуванням системи нормальних рівнянь, яка записується у матричному вигляді:

,

де - матриця, стовпцями якої є значення факторів (регресорів),

- транспонована матриця ,

- матриця-стовпець оцінюваних параметрів,

- матриця-стовпець результативної ознаки (регресанта).

Розв’язок системи нормальних рівнянь знайдено матричним методом (див.Додаток ):

.

Лінійна модель має вигляд:

.

Після оберненої заміни, враховуючи, що , дістаємо вихідну виробничу регресію:

.

Після знаходження параметрів моделі проводиться при рівні значимості 0,05 перевірка моделі на адекватність за допомогою -критерія Фішера із 3=кількості аргументів та 8=12-1-3 ступенями вільності (аналогічно простій однофакторній лінійній регресії), а також перевірка значимості знайдених параметрів (що еквівалентно значимості факторів) за -критерієм Стьюдента (див.Додаток ). При цьому використовується кореляційна матриця:

.

По близькому до одиниці значенню коефіцієнта детермінації та порівнюючи можна із надійністю 0,95 стверджувати, що наша лінійна модель адекватна вибірковим даним (іншими словами, 95% зміни результату обумовлені змінами факторів).

Значення t-статистик факторів Х1 та Х2 по модулю перевищують критичне значення, тому можна вважати суттєвим їх вплив на результат. А ось фактор Х3 можна виключити із моделі, оскільки його t-статистика по модулю менша критичного значення.

Модель адекватна, тому можемо працювати далі: виконувати прогнозування, будувати інтервали довіри, аналізувати та інтерпретувати отримані результати.