4. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа та її частинні випадки.
ЗАДАЧІ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ В АУДИТОРІЇ
Приклад 6.1. Середня кількість викликів, які потрапляють на мініАТС протягом години, дорівнює 300. Оцініть імовірність того, що протягом деякої години кількість викликів буде: а) не менше 400; б) менше 500.
Приклад 6.2. Практика показує, що 60% студентів ІІ курсу успішно складають усі іспити в період сесії. За допомогою нерівності Чебишова оцініть імовірність того, що серед 1200 студентів ІІ курсу частка тих, хто вчасно здав усі іспити, знаходиться в межах від 0,56 до 0,64.
Приклад 6.3. Ймовірність випуску стандартної деталі дорівнює 0,96. Оцініть за допомогою нерівності Чебишова ймовірність того, що кількість бракованих деталей серед 2000 виготовлених знаходиться у межах від 60 до 100 включно. Уточніть імовірність тієї ж події за допомогою інтегральної теореми Муавра-Лапласа. Порівняйте отримані результати.
Приклад 6.4. На лекції з «Теорії імовірностей» спізнюються 3 із 75 студентів. Що можна стверджувати про кількість студентів, які спізняться на чергову лекцію, з імовірністю не менше 0,8? Розрахунки провести із застосуванням нерівностей та теореми Муавра-Лапласа.
Приклад 6.5. Середнє квадратичне відхилення кожної із 1000 незалежних однаково розподілених ВВ дорівнює 2. Яке найбільше відхилення середньої арифметичної цих ВВ від свого математичного сподівання за абсолютною величиною можна очікувати із імовірністю, не меншою, ніж 0,95. Порівняти результат із розрахунками за наслідком із центральної граничної теореми.
ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
Приклад 6.6. Середні витрати електроенергії малим підприємством складає 1000 кВт у день, а середнє квадратичне відхилення цих витрат не перевищує 200 кВт. Оцініть імовірність того, що витрати електроенергії на підприємстві протягом деякого дня не перевищать 2000 кВт, використовуючи : а) нерівність Маркова; б) нерівність Чебишева. Порівняйте отримані оцінки.
Приклад 6.7. Протягом одних біржових торгів курс акцій компанії в середньому змінюється на 0,3%. Оцініть імовірність того, що на наступних торгах курс зміниться більше, ніж на 3%.
Приклад 6.8. У середньому 10% працездатного населення деякого регіону – безробітні. Оцінить за допомогою нерівності Чебишова ймовірність того, що рівень безробіття (частка безробітних) серед 10000 працездатних жителів міста буде в межах від 9 до 11% (включно).
Приклад 6.9. Досвід роботи страхової компанії показує, що страховий випадок припадає на кожну десяту угоду. Скільки угод необхідно укласти, щоб із імовірністю не менше 0,9 можна було стверджувати, що частка страхових випадків відхилиться від 0,1 не більш ніж на 0,01 (за абсолютною величиною). Порівняйте результат із розрахунками за допомогою наслідку з інтегральної теореми Муавра-Лапласа.
Приклад 6.10. Дисперсія кожної із 900 незалежних однаково розподілених ВВ дорівнює 1. Оцінити імовірність того, що середнє арифметичне цих ВВ відхиляється від свого математичного сподівання за абсолютною величиною не більше, ніж на 0,1. Порівняти результат із розрахунками за наслідком із центральної граничної теореми.