ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №8

1. Статистичні сукупності (генеральна та вибіркова), ознаки та їх розподіли. Числові характеристики статистичних розподілів.

2. Точкові та інтервальні оцінки параметрів статистичних розподілів, вимоги до цих оцінок.

3. Основні формули інтервального оцінювання. Три типи задач вибіркового методу.

 

Теорема.Імовірність того, що модуль відхилення вібіркової середньої (або частки) від генеральної середньої (або частки) не перевищить число дорівнює:

(або ), де - інтегральна функція Лапласа, , а - середньоквадратична похибка (стандарт) вибірки, яка може бути знайдена за наступними формулами:

при оцінюванні середньої кількісної ознаки

у випадку повторної вибірки,

у випадку безповторної вибірки;

при оцінюванні частки якісної ознаки

у випадку повторної вибірки,

у випадку безповторної вибірки.

Зауваження. При визначенні середньоквадратичної похибки вибірки для частки якісної ознаки буває, що невідомі ні генеральна частка , ні її точкова оцінка – вибіркова частка . Тоді добуток покладають рівним максимальному можливому значенню - .

Наслідок. При заданій надійності (довірчій імовірності) гранична похибка вибірки дорівнює -кратній величині стандарту, тобто

.

Наслідок. Довірчі інтервали (інтервальні оцінки) для генеральної середньої та генеральної частки визначаються формулами:

та .

Із класичних оцінок, в яких точність оцінки визначається граничною похибкою , можна зробити наступні висновки:

4) при зростанні об’єму вибірки гранична похибка зменшується, тому точність оцінки збільшується (оскільки звужується довірчий інтервал);

5) збільшення надійності оцінки призводить до зростання (оскільки - зростаюча функція), а внаслідок цього, і до збільшення . Іншими словами: збільшення надійності класичної оцінки призводить до зменшення її точності;

6) аналіз формул для обчислення середньоквадратичної похибки вибірки дозволяє при об’ємах генеральної сукупності , або у випадках, коли (об’єм генеральної сукупності набагато більший об’єма вибірки), застосовувати більш прості формули повторної вибірки.

 

ТРИ ТИПИ ЗАДАЧ ВИБІРКОВОГО МЕТОДА.

 

4) Для заданих об’ємові вибірки та довірчому інтервалі знайти надійність оцінки (дано і , визначається .

5) При заданих об’ємові вибірки та надійності оцінки знайти довірчий інтервал (дано і , визначається та або ).

6) При заданих надійності оцінки та довірчому інтервалі знайти необхідний об’єм вибірки ( дано і , знаходиться ).

 

ЗАДАЧІ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ В АУДИТОРІЇ

 

Приклад 8.1. В торзі працюють 500 продавців. Серед 100 продавців відібраних за методом безповторної вибірки середній денний виторг склав 2000 грн., а середнє квадратичне відхилення – 40 грн. Знайти імовірність того, що середній денний виторг одного продавця в торзі відрізняється від 2000 грн. не більше, ніж на 10 грн.

Приклад 8.2. Комерційний банк для вивчення можливостей надання довготермінових кредитів населенню провів опитування 1000 чоловік з 10000 своїх клієнтів. Середнє значення необхідного кредиту в вибірці склало 2000 грн., а дисперсія – 1024. Знайти межі довірчого інтервалу для середнього значення кредиту для всіх клієнтів банку з надійністю 0,95.

Приклад 8.3. Вибіркові дослідження показали, що частка покупців, що віддають перевагу новій модифікації товару А, складає 60% від загального числа покупців даного товару. Яким повинен бути обсяг повторної вибірки, щоб з імовірністю 0,9 можна було стверджувати, що частка таких покупців в загальній кількості буде відрізнятися від 0,6 не більше, ніж на 0,05?

Приклад 8.4. Продукція, що вироблена станком-автоматом за зміну, перевіряється методом повторної вибірки. Серед відібраних 400 деталей виявилось 120 першосортних. Знайти імовірність того, що частка першосортних деталей серед усіх вироблених буде відрізнятись від частки таких деталей у вибірці не більше, ніж на 5 % .

Приклад 8.5. Для визначення ефективності внесення добрив було проведено вибіркове обстеження 30 га посівної площі. З кожного гектара відібрали по 1 кв.м. і визначили урожайність на кожному гектарі. Середня урожайність серед обстежених 30 га виявилась 43 ц/га, а дисперсія – 5. В яких межах знаходиться середня урожайність на всій площі, якщо результат необхідно гарантувати з надійністю 0,9.

Приклад 8.6. Коробки з цукерками пакуються автоматично. Середня вага коробки 0,6 кг. На контроль надійшло 2000 коробок. Скільки коробок слід перевірити методом безповторної вибірки, щоб з ймовірністю 0,9 можна було стверджувати, що середня вага всіх коробок знаходиться в межах від 0,55 до 0,65 кг? Дисперсія ваги не перевищує 0,1.

 

ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

 

Приклад 8.7. Для оцінки частки безробітних серед 5000 робітників одного з районів міста відібрано методом безповторної вибірки 500 чоловік. Виявилось, що в вибірці 25 безробітних. Знайти з надійністю 0,95 довірчий інтервал частки безробітних для всіх робітників району.

Приклад 8.8. В СП 6000 овець. Вибірковим методом було встановлено, що середній настриг вовни з однієї вівці у партії в 1000 голів становить 5 кг, дисперсія 0,9. Знайти ймовірність, з якою можна стверджувати, що середній настриг вовни з однієї вівці для всієї отари відрізнятиметься від 5 кг не більш ніж на 0,2 кг в ту чи іншу сторону.

Приклад 8.9. Вибірковим обстеженням потрібно визначити середню вагу зерна пшениці. Скільки потрібно обстежити зернин, щоб з надійністю 0,9 можна було стверджувати, що середня вага зернини серед відібраних відрізнятиметься від середньої ваги зернини в усій партії не більше, ніж на 0,001 г ? Встановлено, що середнє квадратичне відхилення ваги зернини не перевищує 0,04 г.

Приклад 8.10. Середній вміст вітаміну С серед 100 драже, що перевірялись методом повторної вибірки, склав 14 % . Знайти імовірність того, що середній вміст вітаміну С в усій партії драже буде в межах від 13 % до 15 % , якщо дисперсія ознаки не перевищує 25.

Приклад 8.11. Шляхом безповторної вибірки перевірена якість 1000 деталей з партії в 5000 штук. Серед перевірених було 3 % нестандартних. Визначити межі, в яких знаходиться частка нестандартних деталей в усій партії, якщо результат необхідно гарантувати з ймовірністю 0,9973.

Приклад 8.12. Для оцінки частки деталей найвищого ґатунку в партії з 6000 деталей проводиться вибіркове обстеження. Яким повинен бути обсяг безповторної вибірки, щоб із ймовірністю 0,89 можна було стверджувати, що похибка вибірки не перевищить 0,02?