ТЕМА №4

1. Незалежні повторні випробування (НПВ).

2. Формула Бернуллі.

3. Біноміальний закон розподілу (закон Бернуллі).

4. Числові характеристики біноміально розподілених ВВ. Найімовірніша частота (мода). Локальна теорема Лапласа.

5. Закон рідкісних подій (закон Пуассона). Проста (Пуассонівська) течія подій.

6. Геометричний та гіпергеометричний розподіли.

У багатьох практичних задачах доводиться мати справу із серіями випробувань, які проводяться за так званою схемою Бернуллі або схемою незалежних повторних випробувань (НПВ).

Означення. Якщо серію випробувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події в кожному окремому випробуванні однакова та не залежить від появи або непояви події в інших випробуваннях, то таку послідовність НПВ називають схемою Бернуллі.

Прикладами НПВ є: кидки монети ( подія - випадіння цифри), діставання кулі за схемою «повернених куль» із урни з різнокольоровими кулями ( подія - діставання кулі певного кольору), контроль якості серії виготовлених автоматом деталей (подія - бракована деталь) тощо.

Теорема. Нехай проводиться НПВ за схемою Бернуллі і ймовірність появи події в кожному із випробувань незмінна (ймовірність непояви події в кожному із випробувань ). Тоді імовірність того, що подія з’явиться разів у НПВ знаходиться за формулою Бернуллі:

Доведення.

Зауваження.При великій кількості НПВ імовірності появи події разів зручно обчислювати за допомогою функції «БИНОМРАСП» Excel.

Приклад 4.1. Знайти імовірність того, що при 5 кидках монети герб випаде 3 рази.

Розв’язування. Опишемо стандартну схему НПВ:

- кількість НПВ (кидки монети);

- поява герба (подія, що розглядається у кожному окремому випробуванні);

- імовірність появи події ;

- імовірність непояви події ;

- частота (скільки разів) появи події у НПВ.

Знайти .

Означення. Біноміальным законом розподілу ДВВ називають ДВВ - частоту появи події у НПВ, таблиця розподілу якої має наступний вигляд:

			…
			…

Відзначимо, що . Це випливає із формули бінома Ньютона та очевидної рівності :

Знайдемо числові характеристики біноміально розподіленої ДВВ . Розглянемо випадкові величини - частоту появи події у -тому випробуванні. Закони розподілу усіх цих ВВ однакові і мають вигляд:

Неважко переконатись, що числові характеристики цих ВВ:

, а . Враховуючи, що , за властивостями математичного сподівання та дисперсії дістанемо: , а

, звідки .

Приклад 4.2. Статистика стверджує, що 20% пакетів акцій на аукціонах продаються за початково заявленими цінами. Скласти закон розподілу ВВ - частоти проданих за початково заявленими цінами пакетів акцій серед 7 заявлених до торгів. Знайти її числові характеристики.

Розв’язування. Опишемо стандартну схему НПВ:

Приклад показує, що серед значень частоти є таке (в нашому випадку ), якому відповідає найбільше значення імовірності.

Означення. Найімовірнішою частотою (або модою) появи події у НПВ називають частоту, для якої .

За означенням із системи умов

неважко дістати подвійну нерівність для визначення найімовірнішої частоти:

Довжина проміжка, якому належить найімовірніша частота дорівнює , тому (як ціле число) може приймати або одне значення (якщо кінці проміжка дробові числа), або два значення (якщо кінці проміжка - цілі числа).

У процесі доведення нерівності використовувалось співвідношення , з якого випливає так звана рекурентна формула Бернуллі:

Пропонуємо самостійно переконатись, що ВВ - частість (частка, відносна частота) появи події у НПВ також підкоряється біноміальному закону розподілу з числовими характеристиками .

Відзначимо, що при достатньо великій кількості випробувань найімовірніша частота приблизно дорівнює , а найімовірніша частість приблизно дорівнює імовірності появи події у кожному окремому випробуванні. Зауважимо також, що біноміальний розподіл при збільшенні кількості НПВ досить швидко наближається до нормального.

Обчислення імовірностей за точною формулою Бернуллі при великій кількості НПВ стає досить громіздким , тому на практиці часто використовують так звані асимптотичні формули.

Теорема (локальна формула Муавра-Лапласа). Якщо у схемі Бернуллі із НПВ імовірність появи події дорівнює ( ), а кількість НПВ досить велика, то імовірність появи події разів у НПВ наближено дорівнює (тим точніше, чим більше ):

де - функція Гауса, а .

Відзначимо деякі властивості функції Гауса (локальної функції Лапласа):

1.Функція визначена на всій дійсній осі.

2.Функція набуває тільки додатних значень.

3.Функція парна, тобто .

4.. На практиці при .

Значення цієї функції табульовані для невід’ємних значень . Графік функції називають кривою Гауса або нормальною кривою :

Зауваження. Локальна формула Лапласа дає наближені результати тим ближчі до точних, чим більше значення ( при ). Це наближення відбувається досить швидко (на практиці формулу застосовують вже навіть при ).

Приклад 4.3. Монету кидають 25 разів. Знайти найімовірніше число появи герба та його ймовірність.

Розв’язування.

Локальна формула Лапласа при малих значеннях дає досить великі похибки, тому в цих випадках застосовують формулу Пуассона.

Теорема Пуассона. Якщо імовірність появи події в кожному із випробувань при необмеженому зростанні кількості НПВ (), причому добуток прямує до постійного числа ( ), то імовірність того, що подія з’явиться разів у НПВ задовольняє граничну рівність:

На практиці, якщо імовірність постійна і мала, кількість випробувань - досить велика і число - невелике (при ), то користуються наближеною формулою Пуассона:

Формулу називають асимптотичною формулою Пуассона.

Означення. При виконанні умов теореми Пуассона ВВ ( яка приймає нескінченну злічену множину значень , а відповідні імовірності знаходяться за формулою , де ) називають розподіленою за законом Пуассона ( закон рідкісних подій).

Зауваження. Імовірності зручно знаходити за допомогою функції «ПУАССОН» Excel.

Неважко показати, що для пуассонівського розподілу .

Зауважимо, що при малих значеннях та достатньо великій кількості випробувань біноміальний розподіл апроксимує пуассонівський.

Приклад 4.4. Імовірність виготовлення стандартної деталі дорівнює 0,99. Яка імовірність того, що серед 100 деталей виявиться одна нестандартна?

Розв’язування.

Означення. Течією подій називають послідовність таких подій, які з’являються одна за одною у випадкові моменти часу.

Означення. Течія подій називається простою або пуассонівською, якщо вона:

1. Стаціонарна, тобто залежить від - кількості появ події за проміжок часу і не залежить від моменту початку цього проміжку;

2.Має властивість відсутності післядії, тобто імовірність появи події не залежить від її появи або непояви раніше та не впливає на майбутнє;

3. Ординарна, тобто імовірність появи більше однієї події за малий проміжок часу є величина нескінченно мала.

Означення. Середнє число появ події за одиницю часу називають інтенсивністю течії.

Теорема. Якщо течія пуассонівська (проста), то імовірність появи події разів за час можна знайти за формулою (математичною моделлю простої течії подій):

де - інтенсивність течії.

Прикладами простої течії подій можуть бути: поява викликів на АТС, прибуття літаків до аеропорту, прихід покупців до супермаркету тощо.

Означення. Нехай ДВВ - кількість випробувань до появи події в серії НПВ, яка може приймати нескінченну злічену множину значень , а відповідні ймовірності знаходяться за формулою

де - імовірність появи події в кожному випробуванні, . Така ДВВ називається розподіленою за геометричним законом.

Ряд відповідних імовірностей цього розподілу є нескінченно спадною геометричною прогресією зі знаменником , сума якого дорівнює одиниці (умова нормування).

Неважко показати, що для геометрично розподіленої ВВ: .

Геометричний розподіл застосовується у різноманітних задачах статистичного контролю якості виробів, в теорії надійності та в страхових розрахунках.

Означення. Нехай ДВВ - кількість елементів із певною властивістю серед елементів, відібраних із сукупності в елементів, яка містить елементів саме такої властивості. Ця ДВВ може приймати значення з імовірностями і підкоряється гіпергеометричному закону розподілу.

Для цієї ДВВ .

Гіпергеометричний розподіл використовують у багатьох задачах статистичного контролю якості.

Відзначимо, що при малих об’ємах вибірки у порівнянні із об’ємом усієї сукупності ( ) імовірності у гіпергеометричному розподілі будуть близькими до відповідних імовірностей біноміального розподілу з . В статистиці це означає, що розрахунки імовірностей для безповторної вибірки будуть мало відрізнятись від таких розрахунків для повторної вибірки.