Центральна гранична теорема.

4. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа та її частинні випадки.

 

Група теорем, які встановлюють відповідність між теоретичними та експериментальними характеристиками великої кількості випадкових величин і випадкових подій, а також які стосуються граничних законів розподілу, об’єднуються під загальною назвою граничних теорем теорії ймовірностей. Ці теореми поділимо на дві групи: закон великих чисел та центральну граничну терему. За А.Н.Колмогоровим під законом великих чисел розумітимемо загальний принцип, згідно до якого сукупна дія великої кількості випадкових факторів призводить (при деяких досить загальних умовах) до результату, який майже не залежить від випадку. Іншими словами, при великій кількості ВВ їх середній результат втрачає випадковість і може бути передбаченим із великою ступінню визначеності.

 

Теорема (нерівність Маркова). Якщо ВВ приймає тільки невід’ємні значення і має фіксоване математичне сподівання , то для довільного додатного числа справедлива нерівність:

.

Доведення.

 

Наслідок (друга форма нерівності Маркова) . За умовами теореми

.

Доведення.

 

Приклад 6.1 . Банк обслуговує в середньому 100 клієнтів щодня. Оцінити імовірність того, що деякого дня банк обслугує: а) не менше 200 клієнтів; б) менше 150 клієнтів.

Розв’язування.

 

 

Приклад 6.2 . Сума всіх вкладів населення у деякому банку становить 3млн.грн., а імовірність того, що випадково взятий вклад буде меншим від 10тис.грн., дорівнює 0,8 . Що можна сказати про кількість вкладчиків банку?

Розв’язування.

 

Теорема (нерівність Чебишова). Якщо довільна ВВ має фіксовані математичне сподівання та дисперсію , то для довільного додатного числа справедлива нерівність:

.

Доведення.

 

 

Наслідок (друга форма нерівності Чебишова) . За умовами теореми

.

Доведення.

 

Зауваження. Нерівності Маркова,Чебишова дають оцінки імовірностей подій знизу або зверху. Часто ці оцінки занадто грубі, а інколи просто трівіальні. Наприклад:

 

 

ЧАСТИННІ ВИПАДКИ НЕРІВНОСТІ ЧЕБИШОВА.

 

а) для біноміально розподіленої ДВВ - частоти появи події з імовірністю в серії із НПВ:

, або ;

б) для біноміально розподіленої ДВВ - частості (частки) появи події в серії із НПВ:

, або .

 

Приклад 6.3 . Середньодобове споживання води мешканцем Одеси становить 300л, а середнє квадратичне відхилення не перевищує 60л. Оцінити імовірність того, що у випадково обрану добу споживання води мешканцем менше 600л.

Розв’язування.

 

 

Теорема Чебишова. Якщо всі дисперсії послідовності попарно незалежних ВВ не перевищують деякого додатного числа, то при майже достовірним можна вважати подію, яка полягає у тому, що модуль відхилення середнього арифметичного ВВ від середнього арифметичного їх математичних сподівань буде величиною нескінченно малою, тобто:

.

Доведення.

 

 

Сенс теореми Чебишова полягає у тому, що при великій кількості незалежних ВВ, дисперсії яких обмежені у сукупності, їх середня арифметична практично втрачає характер ВВ і як завгодно мало відрізняється від сталої величини.

Означення. Послідовність ВВ називається збіжною за імовірністю до величини (сталої або випадкової), якщо для довільного як завгодно малого числа

.

Часто застосовується позначення .

 

Теорема Бернуллі. Частість появи події в серії із НПВ при збігається за імовірністю до - імовірності появи події у кожному окремому випробуванні:

, або .

Доведення.

 

 

Теорема Ляпунова. Якщо - незалежні ВВ, у кожної із яких існують математичні сподівання , дисперсії та абсолютні центральні моменти третього порядка , причому виконується умова . Тоді закон розподілу суми при необмежено наближається до нормального з математичним сподіванням і дисперсією .

 

Наслідок. При виконанні умов теореми імовірність попадання суми ВВ в проміжок можна знаходити за наближеною формулою

,

де - інтегральна функція Лапласа, .

Наслідок (центральна гранична теорема). Зокрема, якщо всі ВВ однаково розподілені, то закон розподілу їх суми при необмежено наближається до нормального.

 

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Для біноміально розподіленої ДВВ - частоти появи події з імовірністю в серії із НПВ справедлива наближена формула:

,

де - інтегральна функція Лапласа, .

Доведення.

 

 

Частинні випадки інтегральної теореми Муавра-Лапласа . Для частоти та частості появи події з імовірністю в серії із НПВ справедливі наближені формули:

,

.

 

 

Приклади.

 

ТЕМА №7