ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ (РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ, 1 часть) по дисциплине «Линейная алгебра»

МИНИСТЕРСВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Инженерно-экономический факультет

Кафедра эконометрики и математического моделирования (ЭиММ)

 

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ

(РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ, 1 часть)

по дисциплине

«Линейная алгебра»

для направления 080100 «Экономика»

 

 

Рязань 2013

Элементы линейной алгебры. Матрицы, определители,

Системы линейных алгебраических уравнений

Задание 1.Вычислить определитель третьего порядка: 1) разложением по элементам какой-нибудь строки; 2) разложением по элементам какого-нибудь столбца;

Вариант №1

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы : , , . Вычислить матрицу ;

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №2

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицу , где – соответствующего размера единичная матрица;

4. 5.

6.

7.8.

 

 

Вариант №3

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , . Найти матрицу .

Показать, что .

4. 5.

6.

7.8.

Вариант №4

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , . Найти матрицу .

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №5

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , . Найти общий вид матрицы . Указать, при каком условии, наложенном на числа , можно найти матрицу ;

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №6

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , . Найти, если возможно, матрицу .

4. 5.

6.

7. 8.

 

 

Вариант №7

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицы:

1) (сделать проверку);

2) .

3) Выяснить, существует ли матрица .

4. 5.

6.

7. 8.

 

 

Вариант №8

1. 2.

3. Даны матрицы , , . Найти матрицы:

1) (сделать проверку);

2) .

4. 5.

6.

7. 8.

 

Вариант №9

1. 2. ;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицы:

1) (сделать проверку);

2) .

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №10

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицы:

1) (сделать проверку);

2) .

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №11

1. 2.

3. Даны матрицы , . Найти матрицу .

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №12

1. 2.

3. Даны матрицы , , . Вычислить матрицу ;

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №13

1. ; 2.;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицы:

1) (сделать проверку);

2) .

4. 5.

6.

7. 8.

 

 

Вариант №14

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы : , , . Вычислить матрицу ;

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №15

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицы:

1) (сделать проверку);

2) .

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №16

1. ; 2. ;

3. Найти значение многочлена от матрицы , если:

;

4. 5.

6.

7. 8.

 

Вариант №17

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицу , – соответствующего размера единичная матрица;

4. 5.

6.

7. 8.

 

Вариант №18

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицу .

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №19

1. ; 2. ;

3. Найти значение многочлена от матрицы (то есть вычислить матрицу ), если ;

4. 5.

6.

7. 8.

 

Вариант №20

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицу . Выяснить, существуют ли матрицы , . Если да, то найти их. Сделать проверку;

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №21

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , . Найти матрицы .

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №22

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицы: 1) (сделать проверку); 2) (– соответствующего размера единичная матрица);

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №23

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицу ;

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №24

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицу ;

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №25

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицы ;

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №26

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицу ;

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №27

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , , . Вычислить матрицу ;

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант 28

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы , , . Найти матрицы: 1) (сделать проверку); 2) . 3) Выяснить, существует ли матрица . Если да, то найти ее.

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант №29

1. ; 2. ;

3. Даны матрицы : , , . Вычислить матрицу ;

4. 5.

6.

7. 8.

Вариант 30

1. ; 2.

3. Даны матрицы , , . Найти матрицу ;

4. 5.

6.

7. 8.

Типовой расчет (продолжение первой части).

Элементы векторной алгебры,

Аналитической геометрии на плоскости

(задания №9–14)

Задание 9. Операции над векторами в бескоординатной форме записи (скалярное, векторное, смешанное произведения векторов).

Задание 10. Операции над векторами в координатной форме записи (скалярное, векторное, смешанное произведения векторов).

Задание 11. Составление и решение СЛАУ по задаче векторной алгебры.

Задание 12. Применение векторной алгебры.

Задание 13. Аналитическая геометрия на плоскости.

Задание 14. Кривые второго порядка. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Задание 9. Операции над векторами в бескоординатной форме записи (скалярное, векторное, смешанное произведения векторов). Даны некомпланарные векторы , причем , угол , , . – пирамида. Выполнить схематический чертеж. Найти:

1) длины сторон треугольника ;

2) косинус угла при вершине ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах ;

4) объем пирамиды ;

5) длину (модуль) вектора .

	Векторы		Векторы

Задание 10. Операции над векторами в координатной форме (скалярное, векторное, смешанное произведения векторов).

10.1. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) смешанное произведение векторов , , (двумя способами); 4) вектор .

10.2. Заданы вершины четырехугольника : , , , . 1) Выяснить, перпендикулярны ли его диагонали; 2) найти величину угла ; 3) найти длины сторон четырехугольника и его площадь; 4) найти смешанное произведение векторов .

10.3. Пусть , , . Найти: 1) скалярное произведение ; 2) ; 3) смешанное произведение .

10.4. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) объем параллелепипеда, построенного на векторах .

10.5. Треугольник задан координатами своих вершин , , . Найти: 1) площадь треугольника ; 2) длину высоты, опущенную из вершины , длину медианы треугольника ; 3) смешанное произведение векторов ; 4) угол при вершине (в градусах).

10.6. Заданы векторы , , . Найти: 1) величину проекции вектора на ось, параллельную вектору ; 2) координаты вектора и его длину; 3) смешанное произведение векторов ; 4) площадь треугольника, построенного на векторах и ; 5) проверить, на коллинеарность и ортогональность векторы и .

10.7. Даны векторы , , . Найти: 1) координаты вектора ; 2) проекцию вектора на вектор ; 3) векторное произведение ; 4) смешанное произведение векторов , , ; 5) проверить, ортогональны ли векторы и .

10.8. Даны четыре точки , , , . 1) Доказать, что эти точки лежат в одной плоскости; 2) найти площадь четырехугольника ; 3) найти длины сторон и косинус угла между его диагоналями.

10.9. Заданы векторы , . Найти: 1) координаты вектора , коллинеарного вектору , удовлетворяющего условию ; 2) вектор ; 3) объем параллелепипеда, построенного на .

10.10. Даны векторы , , . 1) Найти косинус угла между векторами , . 2) Выяснить, компланарны ли векторы , , . 2) Найти координаты вектора .

10.11. Даны векторы , , . 1) Найти вектор и его длину; 2) установить, какова тройка векторов – правая или левая; 3) найти скалярное произведение ; 4) найти угол между , .

10.12. Даны четыре точки , , , . Найти: 1) косинус угла между векторами , и их длины; 2) скалярное произведение ; 3) вектор ; 4) смешанное произведение векторов .

10.13. Дан параллелограмм ABCD, причем известны координаты вершин , , ). Найти: 1) координаты вершины ; 2) площадь параллелограмма ABCD; 3) длины сторон, диагоналей параллелограмма и угол между диагоналями.

10.14. При каком значении параметра векторы , перпендикулярны? Найти при этом значении параметра длину вектора .

10.15. Даны векторы , , . Найти: 1) угол между векторами , и их длины; 2) вектор ; 3) смешанное произведение векторов .

10.16. Даны точки: , , , . 1) Проверить, лежат ли эти четыре точки в одной плоскости, то есть образуют четырехугольник ; 2) найти площадь четырехугольника , длины его сторон и величины углов.

10.17. Даны векторы , , . Найти: 1) число ; 2) вектор и его длину; 3) смешанное произведение векторов , , ; 4) координаты вектора , удовлетворяющего условию .

10.18. Даны точки , , , . 1) Найти скалярное произведение векторов , ; 2) площадь треугольника ; 3) проверить, лежат ли точки в одной плоскости; 4) вычислить косинус угла между векторами .

10.19. Даны векторы , , . Найти: 1) число ; 2) вектор и его длину; 3) смешанное произведение векторов , , ; 4) вектор , удовлетворяющий условию .

10.20. Даны четыре точки , , , . 1) Выяснить, лежат ли они в одной плоскости; 2) найти площадь треугольника ; 3) найти длины сторон и величины внутренних углов треугольника .

10.21. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) смешанное произведение векторов , , ; 4) вектор .

10.22. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) объем параллелипипеда, построенного на векторах , ,

10.23. Даны векторы , , . Найти: 1) координаты вектора , его длину; 2) векторное произведение ; 4) смешанное произведение векторов , , ; 5) ортогональны ли векторы , .

10.24. Даны векторы , , . 1) Найти вектор ; 2) установить, тройка векторов – правая или левая; 3) найти число ; 4) вычислить угол между векторами .

10.25. Даны точки , , , . 1) Найти скалярное произведение векторов и ; 2) площадь треугольника ; 3) проверить, лежат ли точки в одной плоскости; 4) вычислить угол между .

10.26. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) смешанное произведение векторов , , (двумя способами); 4) вектор .

10.27. Заданы вершины четырехугольника : , , , . 1) Выяснить, перпендикулярны ли его диагонали; 2) найти величину угла ; 3) найти длины сторон четырехугольника и его площадь; 4) найти смешанное произведение векторов .

10.28. Пусть , , . Найти: 1) скалярное произведение векторов , и угол между ними; 2) ; 3) смешанное произведение .

10.29. Даны векторы , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

10.30. Треугольник задан координатами своих вершин , , . Найти: 1) площадь треугольника ; 2) длину высоты, опущенную из вершины , длину медианы треугольника ; 3) смешанное произведение векторов ; 4) угол при вершине (в градусах).

10.31. Заданы векторы , , . Найти: 1) длины векторов , и косинус угла между ними; 2) координаты вектора и его длину; 3) смешанное произведение векторов ; 4) проверить на коллинеарность и ортогональность векторы и .

10.32. Пусть , , . Вычислить: 1) скалярное произведение ; 2) вектор ; 3) смешанное произведение векторов , , ; 4) вектор .

 

Задание 11. Решить задачу с использованием СЛАУ.

11.1. Представить, если возможно, вектор как линейную комбинацию векторов .

11.2. Выяснить, является ли система векторов : , , базисом в пространстве . Если является, то разложить вектор по базису .

11.3. Найти вектор , если он перпендикулярен вектору , удовлетворяет условиям , .

11.4. Выяснить, образует ли базис система векторов : , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

11.5. Даны векторы , , . Найти вектор , удовлетворяющий условиям: , , .

11.6. Представить вектор как линейную комбинацию линейно-независимых векторов .

11.7. Даны векторы , , . Найти координаты вектора , для которого , , .

11.8. Выяснить, образует ли базис система векторов , где , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

11.9. Представить вектор как линейную комбинацию линейно-независимых векторов .

11.10. Вектор , перпендикулярный векторам , образует с осью тупой угол. Зная, что длина вектора равна 26, найти его координаты. Сделать схематический рисунок.

11.11. Найти вектор , который удовлетворяет условиям , , , где , , .

11.12. Проверить, пересекаются ли три плоскости в одной точке. Если пересекаются, то найти координаты этой точки:

.

Указание. Три плоскости имеют одну единственную общую точку, если система общих уравнений этих трех плоскостей имеет единственное решение (является определенной).

11.13. Выяснить, является ли система векторов : , , базисом в пространстве . Если является, то разложить вектор по базису .

11.14. Найти координаты вектора , удовлетворяющего условиям , , .

11.15. Найти координаты вектора , удовлетворяющего условиям , , .

11.16. Показать, что три плоскости пересекаются в одной единственной точке и найти координаты этой точки: , , .

Указание. Три плоскости имеют одну единственную общую точку, если система общих уравнений этих трех плоскостей имеет единственное решение (является определенной).

11.17. Выяснить, образует ли базис система векторов : , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

11.18. Выяснить, является ли система векторов: , , базисом в пространстве . Если является, то разложить вектор по базису .

11.19. Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , , где , , .

11.20. Найти вектор , который удовлетворяет условиям , , , где , , .

11.21. Выяснить, является ли система 3-мерных векторов : , , базисом в пространстве . Если является, то разложить вектор по базису .

11.22. Вектор перпендикулярен векторам , , а также известно, что . Найти координаты вектора .

11.23. Выяснить, образует ли базис система векторов , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

11.24. Выяснить, образует ли базис система векторов , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

11.25. Выяснить, является ли система векторов : , , базисом в пространстве . Если является, то разложить вектор по базису .

11.26. Представить вектор как линейную комбинацию линейно-независимых векторов .

11.27. Даны векторы , , . Найти координаты вектора , для которого , , .

11.28. Выяснить, образует ли базис система векторов , где , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

11.29. Представить, если возможно, вектор как линейную комбинацию векторов .

11.30. Выяснить, является ли система векторов : , , базисом в пространстве . Если является, то разложить вектор по базису .

11.31. Выяснить, образует ли базис система векторов : , , . Если система образует базис, то найти координаты вектора в этом базисе.

11.32. Вектор перпендикулярен векторам , , а также известно, что . Найти координаты вектора .

Задание 12 (Применение векторной алгебры).

Даны координаты точек M, N, P, Q (см. ниже) пирамиды MNPQ.

1. Найти координаты векторов , разложить их по базисным векторам , найти длины (модули) векторов.

2. Вычислить косинус угла между рёбрами MN и MP.

3. Найти площадь грани MNP.

Замечание. Площадь грани (треугольника) MNP необходимо вычислять через векторное произведение векторов, на которых построен треугольник.

4. Вычислить объём пирамиды MNPQ.

Замечание. Объем пирамиды MNPQ вычислять при помощи смешанного произведения векторов, на которых построена пирамида MNPQ.

5. Найти длину высоты пирамиды, опущенной из точки на основание MNP. Нахождение высоты основано на применении формулы .

 

Исходные координаты точек M, N, P, Q (в cоответствии с вариантами)

12. 1. М(–3, –2, –4), N(–4, 2, –7), P(5, 0, 3), Q(–1, 3, 0);

12. 2. М(2, –2, 1), N(–3, 0, –5), P(0, –2, –1), Q(–3, 4, 7);

12. 3. М(1, 3, 2), N(3, 2, 7), Р(4, 0, 0), Q(–2, 1, 2);

12. 4. M(3, 6, –2), N(0, 2, –3), Р(1, –2, 0), Q(–7, 6, 6);

12. 5. М(1, –4, 1), N(4, 4, 0), P(–1, 2, –4), Q(–9, 7, 8);

12. 6. М(1, –2, 1), N(3, 1, –2), Р(2, 2, 5), Q(–2, 1, 0);

12. 7. М(0, 6, –5), N(8, 2, 5), Р(2, 6, –3), Q(5, 0, –6);

12. 8. М(–2, 4, –6), N(0, –6, 1), Р(4, 2, 1), Q(7, –1, –8);

12. 9. М(–4, –2, –5), N(1, 8, –5), P(0, 4, –4), Q(9, –2, –10);

12. 10. М(3, 4, –1), N(2, –4, 2), P(5, 6, 0), Q(11, –3, –12);

12. 11. М(2, –3, 1), N(6, 1, –1), Р(4, 8, –9), Q(2, –1, 2);

12. 12. М(5, –1, –4), N(9, 3, –6), Р(7, 10, –14), Q(5, 1, –3);

12. 13. М(1, –4, 0), N(5, 0, –2), Р(3, 7, –10), Q(1, –2, 1);

12. 14. М(–3, –6, 2), N(1, –2, 0), Р(–1, 5, –8), Q(–3, –4, 3);

12. 15. М(–1, 1, –5), N(3, 5, –7), Р(1, 12, –15), Q(–1, 3, –2);

12. 16. М(1, –3, –4), N(–1, 0, 2), Р(2, –4, –6), Q(1, 1, 1);

12. 17. М(0, 4, 3), N(4, 8, 1), Р(2, 15, –7), Q(0, 6, 4);

12. 18. М(–2, 0, –2), N(2, 4, –4), Р(0, 11, –12), Q(–2, 2, –1);

12. 19. М(3, 3, –3), N(7, 7, –5), Р(5, 14, –13), Q(3, 5, –2);

12. 20. М(1, 1, –1), N(0, 1, 2), Р(5, 4, –3), Q(0, 2, –6);

12. 21. М(1, 1, 1), N(2, 2, 2), Р(5, –4, –3), Q(1, –2, –6);

12. 22. М(1, 1, 2), N(3, 5, –2), Р(2, 3, –5), Q(0, –3, 2);

12. 23. М(1, 1, 4), N(0, –2, 3), Р(2, 0, 3), Q(–1, –2, 0);

12. 24. М(2, 0, 2), N(0, 0, 4), Р(–1, 2, –1), Q(4, –2, 1);

12. 25. М(1, 1, 6), N(0, 4, 2), Р(–1, –2, 16), Q(2, –3, 0);

12. 26. М(1, 2, –1), N(–3, 5, 0), Р(5, –1, 2), Q(0, 2, 3);

12. 27. М(1, 1, –2), N(0, 6, 2), Р(3, 1, 0), Q(3, –2, 5);

12. 28. М(6, 0, 0), N(–1, 3, –1), Р(1, 0, –5), Q(2, 3, 4);

12. 29. М(3, –1, 2), N(0, 2, 2), P(–1, 0, 8), Q(1, 2, 3);

12. 30. М(0, 0, 4), N(–1, 2, –1), Р(2, 0, 2), Q(–2, –3, 4);

12. 31. М(1, 0, –3), N(0, 1, –3), Р(2, 1, 1), Q(2, 3, 4).

12. 32. М(3, 3, –3), N(7, 7, –5), Р(5, 14, –13), Q(3, 5, –2)

Задание 13 (Аналитическая геометрия на плоскости).

Даны вершины треугольника MNP (координаты точек см. ниже). Сделать чертёж в прямоугольной декартовой системе координат (чертеж выполнить в соответствии с масштабом). Найти:

1) координаты векторов , их длины (длины сторон треугольника MNP);

2) общие уравнения сторон (MN), (NP), (MP) и их угловые коэффициенты;

3) угол N (через косинус и тангенс) между векторами ;

Замечание. Проверить справедливость равенства .

4) общее уравнение высоты (PQ), её длину и координаты точки пересечения высоты с прямой ;

5) общее уравнение медианы (MR), координаты точки S пересечения ее с высотой (PQ);

6) уравнение прямой, проходящей через точку S параллельно стороне MN.

Замечание. Координаты точек должны соответствовать координатам в системе координат.

 

вар	Координаты М, N, P	вар	Координаты М, N, P
	М(–3, 9), N(2, 0), P(7, 4);		М(0, 2), N(10, –1), Р(6, 7);
	М(–4, 6), N(3, –3), P(7, 9);		М(1, 8), N(5, 3), Р(­3, 0);
	М(–2, –1), N(0, 10), Р(4, 12);		М(–4, ­4), N(5, 5), Р(1, –4);
	М(2, 5), N(10, –4), P(0, –3);		М(–1, –3), N(8, 3), Р(4, 7);
	М(–2, 1), N(10, 0), P(5, 7);		М(–6, 8), N(1, 1), Р(4, 5);
	М(3, 6), N(10, –3), Р(13, 11);		М(–10, 5), N(1, –1), Р(0, 10);
	М(–4, 5), N(0, 0), Р(9, 7);		М(–3, –3), N(9, 1), Р(7, 10);
	М(4, 1), N(–5, –5), Р(0, 8);		М(7, 4), N(5, –5), Р(–3, 1);
	М(0, 3), N(8, 10), Р(4, –3);		М(0, 4), N(4; 0), Р(7, 7);
	М(0, –2), N(–4, 0), Р(7, 7);		М(2, 2), N(6, –2), Р(8, 6);
	М(–3, 0), N(3, 3), Р(2, –5);		М(3, –5), N(–4, –4), Р(2, 5);
	М(5, 2), N(–4, 4), Р(–2, –5);		М(–9, 6), N(3, –3), P(7, 4);
	М(4, 2), N(4, –4), P(6, 8);		М(0, 0), N(–4, 6), P(6, 8);
	М(0, –4), N(10, 9), Р(1, 15);		М(0, 3), N(10, –6), Р(5, 8);
	М(–5, –3), N(4, –5), Р(3, 8);		М(–5, 1), N(7, –2), P(1, 7);
	М(4, 1), N(–5, –5), Р(0, 8).		М(–2, 1), N(10, 0), P(5, 7)

 

 

Задание 14. Кривые второго порядка. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Привести общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, приведя соответствующую квадратичную форму кривой при помощи ортогонального преобразования к каноническому виду. Определить тип этой кривой. Построить кривую в новой системе координат.

Вар	Общее уравнение кривой второго порядка