ТР: АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

 

 

ТР: “АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ”

 

Задача 1. Вычислить определитель.

Задача 2. Даны матрицы и . Найти матрицу .

Задача 3. Найти произведение матриц . Существует ли

произведение ? Почему?

Задача 4. Найти обратную матрицу для матрицы . Сделать проверку.

Задача 5. Решить матричное уравнение.

Задача 6. Найти ранг матрицы.

Задача 7. Решить систему линейных уравнений:

1) по формулам Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

Задача 8. Найти общее решение и фундаментальную систему решений

Задача 9. Написать разложение вектора по векторам , и . Задача 10-16. Условия приведены в задании.  

ВАРИАНТ 1

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. , , и

10. Вычислить проекцию вектора на направление вектора,

где ; .

11. Векторы и образуют угол в , , . Найти длину

вектора , если .

12. Лежат ли точки , , и в одной

плоскости?

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин

и уравнения двух высот: и .

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку

.

15. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку

перпендикулярно к вектору и пересекает прямую

.

16. Принадлежит ли прямая плоскости ?

ВАРИАНТ 2

1. 2. , ,

3. ,4.5.

6. 7. 8.

9. , , и

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и

.

11. Сила приложена к точке . Определить момент

этой силы относительно точки .

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы ,

и ?

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину ,

а также уравнения высоты и медианы ,

проведенных из различных вершин.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и

отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.

15. Составить каноническое уравнение прямой, лежащей в плоскости ,

проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой

.

16. Найти угол между прямой и плоскостью, проходящей

через точки , , .

 

ВАРИАНТ 3

 

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. , , и

10. При каком t векторы и будут взаимно

перпендикулярны?

11. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и

, если , угол между векторами и равен .

12. Компланарны ли векторы , и ?

13. Через точку пересечения прямых и провести

прямую, которая, кроме того, 1) проходит через начало координат;

2) параллельна оси абсцисс; 3) параллельна оси ординат;

4) проходит через точку .

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и

N(2; 1; 1) параллельно вектору (3; 0; 1).

15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (3; -2; 0) перпен-

дикулярно к прямой и расположенной в плоскости .

16. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения

плоскости с прямыми и

.

 

 

ВАРИАНТ 4

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={11; 5; -3}, ={1; 0; 2}, ={-1; 0; 1} и {2; 5; -3}

10. Доказать ,что точки А(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) являются

вершинами прямоугольника. Вычислить длину его диагоналей.

11. Вычислить площадь треугольника ABC, вершины которого лежат в точках

А(2; 3; 4), B(4; 3; 2), и C(1; 1; 1).

12. При каком значении точки А(1; 0; 3), B(-1; 3; 4), C(1; 2; 1), и D(; 2; 5)

лежат в одной плоскости?

13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

и и через точку A(2; 1).

14. Даны координаты вершин тетраэдра А(2; 0; 0), B(5; 3; 0), C(0; 1; 1),

D(-2; -4; 1). Найти двугранный угол между гранями ABC и ABD.

15. При каком значении прямые и

параллельны?

16. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4; 0; -1) и

пересекающей две данные прямые и .

 

 

ВАРИАНТ 5

 

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={13; 2; 7}, ={5; 1; 0}, ={2; -1; 3} и ={1; 0; -1}

10. В прямоугольном треугольнике АВС углы при вершинах А и С равны и

, а длина гипотенузы равна 2. Вычислить

11. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам ={0; -1; 2} и

={1; 3; 3} и удовлетворяет условию .

12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5),

C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

13. Вычислить координаты вершины ромба, если известны уравнения двух его

сторон: x + 2y = 4 и x + 2y = 10 , и уравнение одной из его диагоналей:

y = x + 2 .

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 1; 1) и N(-1; 1;-1)

параллельно прямой , определяемой точками А(5; -2; 3) и В(6; 1; 0).

15. При каком значении D прямая проходит через начало

координат?

16. Найти точку , симметричную точке А(3; -1; 4) относительно прямой

.

ВАРИАНТ 6

1. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={2; 7; 5}, ={1; 0; 1}, ={1; -2; 0} и ={0; 3; 1}

10. Даны точки А(0; -3; 4), В(2; 5; -1) и С(-4; 2; -2). Вычислить скалярное

произведение векторов и

11. Найти длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины С на

сторону АВ, если A(2; 3; 4), B(4; 3; 2) и C(1; 1; 1).

12. Какую тройку (правую или левую) образуют векторы ,

и ?

13. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана

вершина прямого угла С(3; -1) и уравнение гипотенузы 3x – y + 2 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры,

опущенные из точки А(2; 0; 1) на плоскости x – 3y +2z = 0 и 2x – y + 2z = 0.

15. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

М(2; 1; 3), параллельно прямой x = 3+t , y = 3t, z = 2-t.

16. Найти угол между прямой, проходящей через точки А(-1; 0; -5) и В(1; 2; 0),

и плоскостью x – 3y + z + 5 = 0.

 

ВАРИАНТ 7

1
. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={-9; 5; 5}, ={4; 1; 1}, ={2; 0; -3} и ={-1; 2; 1}

10. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0)

и С(3; -2; 1). Определить его внешний угол при вершине В.

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

.

12. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах

, , , где и - взаимно

перпендикулярные орты.

13. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2x – y + 5 = 0 и

x – 2y + 4 = 0, диагонали его пересекаются в точке М(1; 4). Найти уравнение

сторон CD и AD.

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -3; 1)

параллельно векторам и .

15. Даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(2; 1; 3), С(0; -1; 1). Составить

уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

16. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки А(-1; 3; 2) на

плоскость 2x – y + z + 3 = 0.

 

ВАРИАНТ 8

1. 2. , ,

3. , 4. 5.=

6. 7. 8.

9. ={-5; -5; 5}, ={-2; 0; 1}, ={1; 3; -1} и ={0; 4; 1}

10. Найти координаты вектора , коллинеарного вектору ={3; -4; 0}, если известно, что вектор образует с осью тупой угол и =10.

11. ={3; 1; -1}, ={-2; 1; 4}. Вычислить .

12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5),

C(6; 2; 3) и D(3; 7; 2).

13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения

прямых 2x + y + 6 = 0 и 3x + 5y – 15 = 0 и через точку N(1; -2).

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 5; 3) параллельно

плоскости x + 2y - 3z + 2= 0 .

15. При каком значении прямые и

перпендикулярны?

16. Проверить, что прямые и пересекаются.

Найти уравнение плоскости, в которой они лежат.

 

 

ВАРИАНТ 9

 

1. 2. , ,

3.,4.5.

6.7.8.

9. ={13; 2; 7}, ={5; 1; 0}, ={2; -1; 3} и ={1; 0; -1}

10. По координатам вершин треугольника АВС A(1; 1; -1), B(2; 4; -1) и

C(8; 3; -1) выяснить, является ли он прямоугольным, остроугольным или

тупоугольным.

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

.

12. При каком m векторы , и

компланарны?

13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x + 2y = 12, уравнение

высоты BM: x + 2y = 4 , уравнение высоты АМ: 4x + y = 6, где М - точка

пересечения высот. Написать уравнения сторон АС и ВС.

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; 3; -1) и В (1; 5; 3)

перпендикулярно плоскости 3x – y + 3z + 15 = 0 .

15. Через точку М(2; -1; 3) провести прямую, параллельную прямой

.

16. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку

М(3; -2; -4) параллельно плоскости 3x – 2y – 5z – 7=0 и пересекает прямую

.

 

ВАРИАНТ 10

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={-19; -1; 7}, ={0; 1; 1}, ={-2; 0; 1} и ={3; 1; 0}

10. Проверить будет ли треугольник АВС (A(1; 2; 3), B(7; 10; 3), C(-1; 3; 1))

прямоугольным?

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

.

12. Найти объем параллелепипеда с вершинами в точках A(2; 2; 2), B(4; 3;3),

C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).

13. Дано уравнение 3x + 4y – 12 = 0 стороны АВ параллелограмма ABCD,

уравнение x + 12y - 12 = 0 диагонали АС и середина Естороны ВС.

Найти уравнения сторон ВС, СD и AD.

14. Cоставить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; -3; 5)

перпендикулярно линии пересечения плоскостей 2x + y - 2z + 1 = 0 и

x + y + z –5 = 0 .

15. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую

.

16. При каком значении плоскость 5x – 3y + z + 1 = 0 будет параллельна

прямой ?

 

ВАРИАНТ 11

 

1. 2. , ,

3., 4. 5.=

6. 7. 8.

9. ={3; -3; 4}, ={1; 0; 2}, ={0; 1; 1} и ={2; -1; 4}

10. Найти работу силы ={4; -1; 1} на перемещении ={5; 3; -2}.

11. Вычислить координаты вектора , перпендикулярного векторам

и и образующего тупой угол с осью , если

.

12. Доказать, что точки A(1; -2; 2), B(1; 4; 0), C(-4; 1; 1) и D(-5; -5; 3) лежат в

одной плоскости.

13. Даны уравнения сторон параллелограмма ABCD: AB: 3x + 4y - 12 = 0,

AD: 5x - 12y - 6 = 0 и середина Е(-2; 1) стороны BC. Найти уравнения двух

других сторон параллелограмма.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

(1; 2; 0), (2; 1; 1), (3; 0; 1).

15. Через точку А(0; -2; 1) провести прямую так, чтобы она пересекала две

данные прямые и

16. Найти расстояние от точки А(2; 3; -1) до прямой .

 

ВАРИАНТ 12

 

1. 2. , ,

3. , 4. 5.=

6. 7. 8.

9. ={8; 0; 5}, ={2; 0; 1}, ={1; 1; 0} и ={4; 1; 2}

10. Найти скалярное произведение векторов и , если

и .

11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и

, если , а угол между векторамии равен .

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы ,

, ?

13. Даны вершины треугольника А(2; 1), B(-1; -1), C(3; 2). Составить уравнение

высоты, опущенной на сторону ВС, и медианы, проведенной к стороне АС.

14. Плоскость проходит через ось и составляет с плоскостью

2x + y -z = 0 угол . Найти её уравнение.

15. Пересекаются или нет прямые и ?

16. Найти проекцию точки М(0; 1; 2) на прямую .

 

 

ВАРИАНТ 13

 

1. 2. , ,

3., 4. 5.=

6. 7. 8.

9. ={3; 1; 8}, ={0; 1; 3}, ={1; 2; -1} и ={2; 0; -1}

10. Найти угол между векторами и , если и

.

11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

{2; -1; 5} и {2; 3; 6} как на сторонах.

12. Проверить, компланарны ли векторы , ,

.

13. Найти проекцию точки М(1; 1) на прямую .

14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через

точки А(-1; 2; 1) и В(3; 0; 2).

15. Проверить, пересекаются ли прямые и

.

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

, перпендикулярно плоскости 3x + y – 2z + 5 = 0.

 

ВАРИАНТ 14

1. 2. , , C=2A-3B

3., 4. 5.=

6. 7. 8.

9. ={8; 1; 12}, ={1; 2; -1}, ={3; 0; 2} и ={-1; 1; 1}

10. Даны векторы и . При каком векторы

и перпендикулярны?

11. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках А(2; 2; 2),

B(4; 0; 3) и C(0; 1; 0).

12. Проверить будут ли компланарны векторы , и

?

13. Найти точку N, симметричную точке М(0; -3) относительно прямой

.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку

M(2; -1; 3).

15. Даны вершины треугольника А(1; 0; 2), B(-2; 3; -1), C(3; -2; 4). Составить

уравнение медианы из вершины В на сторону АС.

16. Через прямую x = 2t + 1, y = -t + 2, z = 3t – 2 провести плоскость

параллельную прямой .

 

 

ВАРИАНТ 15

1. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={-9; -8; -3}, ={1; 4; 1}, ={-3; 2; 0} и ={1; -1; 2}

10. Найти скалярное произведение векторов и , если

, .

11. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и

и удовлетворяет условию .

12. Заданы точки А(1; 2; -2), B(3; 2; -1) , C(0; 1; -2) и D(3; 2; 3). Найти объем

тетраэдра АBCD.

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину С(1; 2), а так-

же уравнения высоты x – 2y + 1 = 0 и медианы 4x + y + 2 = 0, проведенных

из одной вершины.

14. Из точки Р(2; -1; 3) опущен на плоскость перпендикуляр, его основание

М(1; 2; 4). Найти уравнение плоскости.

15. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку А(1; -5; 3) и

образует с осями координат углы, соответственно равные , , .

16. Найдите точку В, симметричную точке А(2; 0; 1) относительно прямой

.

 

ВАРИАНТ 16

1. 2. , ,

3., 4. 5.=

6. 7. 8.

9. ={-5; 9; -13}, ={0; 1; -2}, ={3; -1; 1} и ={4; 1; 0}

10. Векторы и образуют угол . Найти длину вектора , если

, .

11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и

, если , а угол между векторами и равен .

12. Компланарны ли векторы ?

13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x – 4y + 5 = 0,

уравнение высоты АМ: x + 2y – 10 = 0 и высоты BN: 2x – 3y + 4 = 0.

Составить уравнения двух других сторон треугольника.

14. Через линию пересечения плоскостей 4x – y + 3z – 1 = 0 и x + 5y – z +2 = 0

провести плоскость, проходящую через точку M(1; 1; 1).

15. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(-1; 0; 3) на

прямую .

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

и перпендикулярной к плоскости 2x + 3y – z = 4.

 

ВАРИАНТ 17

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={3; 3; -1}, ={3; 1; 0}, ={-1; 2; 1} и ={-1; 0; 2}

10. Найти при каком векторы и будут

взаимно перпендикулярны, если , .

11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

и как на сторонах.

12. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A(1; 3; 6), B(2; 2; 1),

C(-1; 0; 1), D(-4; 6; -3).

13. Найти уравнения прямых, проходящих через точку М(-1; 2) под углом

к прямой x – 2y + 3 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и

перпендикулярной к двум плоскостям: 2x – y + 5z + 3 = 0 и x + 3y – z – 7 = 0.

15. Даны точки пересечения прямой с двумя координатными плоскостями

и . Вычислить координаты точки пересечения этой же

прямой с третьей координатной плоскостью.

16. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М(1; 0; -1) на

прямую .

ВАРИАНТ 18

1. 2. , , C=

3. , 4. 5.=

6. 7. 8.

9. ={2; -1; 11}, ={1; 1; 0}, ={0; 1; -2} и ={1; 0; 3}

10. Заданы точки A(-2; 4; 0), B(1; 3; -5), C(0; -1; 1) и вектор .

Вычислить скалярное произведение векторов и .

11. Найти орт , перпендикулярный векторам и .

12. Заданы векторы , и . Какую тройку

(левую или правую) образуют векторы , и ?

13. Даны две вершины треугольника А(5; -2) и B(-4; 1); его высоты

пересекаются в точке N(3; 2). Найти координаты третьей вершины С.

14. Через точку M(-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит

ось , другая - ось . Вычислить угол между этими двумя плоскостями.

15. Указать особенность в расположении прямой

16. Найти точку В, симметричную точке А(1; 2; 0) относительно плоскости

2x – 3y + 5z = 5.

 

 

ВАРИАНТ 19

1. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={5; 15; 0}, ={1; 0; 5}, ={-1; 3; 2} и ={0; -1; 1}

10. Определить угол между векторами и .

11. Вычислить векторное произведение векторов и , если

, .

12. Проверить, лежат ли точки А(5; 2; 0), В(2; 5; 0), С(1; 2; 4) и D(-1; 1; 1) в

одной плоскости?

13. Найти точку В, симметричную точке А(4; -3) относительно прямой,

проходящей через точки М(1; -2) и N(-3; 2).

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения

плоскостей 4x – y + 3z – 6 = 0 и x + 5y – z +10 = 0 и перпендикулярной к

плоскости 2x – y + 5z – 5 = 0.

15. При каких значениях коэффициентов B и D прямая

лежит в плоскости ?

16. Найти точку пересечения прямой x = 2t – 1, y = t + 2, z = 1 – t c плоскостью

3x – 2y + z - 3 = 0.

 

 

ВАРИАНТ 20

1. 2. , , С=

3., 4. 5.=

6. 7. 8.

9. ={6; -1; 7}, ={1; -2; 0}, ={-1; 1; 3} и ={1; 0; 4}

10. Найти угол между векторами и , если А(-4; -2; 0), В(-1; -2; 4) и С(3; -2; 1).

11. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и

.

12. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(2; -1; -2), В(1; 2; 1),

С(5; 0; -6) и D(-10; 9; -7).

13. Найти проекцию точки Р(4; 5) на прямую, проходящую через точки А(3; -2)

и В(6; -1).

14. Найти угол между плоскостью, проходящей через точки О(0; 0; 0),

A(a; -a; 0) и B(a; a; a), и плоскостью .

15. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях

прямой , чтобы прямая пересекала ось ?

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые

и .

 

 

ВАРИАНТ 21

1. 2. , ,

3., 4. 5.

6.7.8.

9. ={-1; 7; -4}, ={-1; 2; 1}, ={2; 0; 3} и ={1; 1; -1}

10. Найти угол между векторами и , если А(2; 1; -1), В(6; -1; -4) и

С(4; 2; 1).

11. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и

.

12. Проверить, лежат ли точки А(5; 2; 0), В(2; 5; 0), С(1; 2; 4) и D(-1; 1; 1) в

одной плоскости?

13. Даны две смежные вершины А(5; -2) и В(3; 1) параллелограмма ABCD и

точка Q(0; 2) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон BC и

CD и прямой, проходящей через точку Q параллельно стороне ВС.

14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через

точки A(2; 2; 0) и B(4; 0; 0).

15. Указать особенность в расположении прямой .

16. Найти проекцию точки М(3;1;-1) на плоскость x + 2y + 3z – 30 = 0.

ВАРИАНТ 22

1. 2. , ,

3. , 4.

5. =

6. 7. 8.

9. ={6; 5; -14}, ={1; 1; 4}, ={0; -3; 2} и ={2; 1; -1}

10. Вычислить проекцию вектора на направление вектора , где

А(7; 3; -2), В(8; 2; -2).

11. Раскрыть скобки и упростить выражение .

12. Проверить, будут ли компланарны векторы , ,

?

13. Вершины треугольника А(-3; 3), В(5; 1), С(6; -2). Составить уравнения:

а) медианы, проведенной из вершины С;

б) высоты, опущенной из вершины А на сторону BC.

14. Найти угол между плоскостями x – 2y + 2z – 8 = 0 и x + z – 6 = 0.

15. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М(-1; 2; 3) на

ось .

16. Через точку М(1;-1; 2) провести плоскость так, чтобы она была параллельна

прямым и .

 

ВАРИАНТ 23

1. 2. , ,

3., 4. 5.

6. 7.

8.

9. ={-15; 5; 6}, ={0; 5; 1}, ={3; 2; -1} и {-1; 1; 0}

10. Заданы точки А(-2; 4; 0), В(1; 3; -5) и С(0; -1; 1) и вектор .

Вычислить скалярное произведение векторов () и ).

11. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах

и .

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы , и ,

если А(1; 1; -1), В(2; 3; 1), С(3; 2; 1) и D(5; 9; 8).

13. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M(1; -4) и

a) параллельной прямой 2x – 3y = 1;

б) перпендикулярной прямой 5x – 7y + 3 = 0.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M(-1; -1; 2) и

перпендикулярной к плоскостям x – 2y + z – 4 = 0 и x + 2y - 2z + 4 = 0.

15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M(-1; 3; 2)

параллельно оси .

16. Найти проекцию точки A(2; 3; 4) на прямую x = y = z.

ВАРИАНТ 24

1. 2. , ,

3., 4. 5.=

6. 7. 8.

9. ={8; 9; 4}, ={1; 0; 1}, ={0; -2; 1} и {1; 3; 0}

10. Найти работу силы на перемещении , если , ,

.

11. Заданы точки А(0; 2; 0), В(3; 0; -4), С(2; 1; 1) и D(-1; -1; -1). Вычислить

векторное произведение векторов () и .

12. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах , , .

13. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма: x - y -1 = 0;

x – 2y = 0 и точка пересечения его диагоналей М(3; -1). Найти уравнения

двух других сторон параллелограмма.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку

M(2; -4; 3).

15. Найти угол между прямыми: и .

 

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

и точку M(3; 4; 0).

ВАРИАНТ 25

 

1. 2. , ,

3., 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={23; -14; -30}, ={2; 1; 0}, ={1; -1; 0} и {-3; 2; 5}

10. Определить угол между векторами и .

11. Найти вектор , зная, что он удовлетворяет условию и

перпендикулярен векторам и .

12. Найти объём тетраэдра, построенного на векторах ,

и .

13. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 6) и

составляющей с осью угол, вдвое меньший угла, который составляет с

осью прямая y – 3x + 5 = 0.

14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через

точки А(0; 1; 3) и В(2; 4; 5).

15. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

М(1; 2; -3) параллельно прямой: .

16. При каких значениях и прямая лежит в плоскости

x + 2y – z + 1 = 0.

 

 

ВАРИАНТ 26

1. 2. , ,

3., 4. 5.=

6. 7. 8.

9. ={3; 1; 3}, ={2; 1; 0}, ={1; 0; 1} и {4; 2; 1}

10. Найти скалярное произведение векторов и , если

, и угол между векторами и равен .

11. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(1; 1; 1), B(2; 3; 4) и

C(4; 3; 2).

12. Найти объём тетраэдра, построенного на векторах , ,

.

13. Вершины треугольника A(1; 4), B(2; 5), C(5; -2). Найдите точку пересечения

стороны АВ с перпендикуляром, восстановленным из середины стороны АС.

14. Даны точки А(1; 3; -2) и В(7; -4; 4). Через точку В провести плоскость,

перпендикулярную к отрезку АВ.

15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(-4; 3; 0) и

параллельной прямой .

 

16. При каких значениях коэффициентов и плоскость x + y – 2z + 1 = 0

перпендикулярна прямой ?

 

 

ВАРИАНТ 27

 

1. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={-1; 7; 0}, ={0; 3; 1}, ={1; -1; 2} и {2; -1; 0}.

10. Найти угол между векторами и , если A(3; 3; -1), B(5; 1; -2) и

C(4; 1; 1).

11. А(1; 0; -3), B(-2; 1; -1), C(2; -1; 0) и D(3; -3; 3). Найти векторное

произведение векторов и .

12. Проверить, лежат ли в одной плоскости точки с координатами А(1; 1; 1),

B(2; 3; 1), C(3; 2; 1) и D(5; 9; 8).

13. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины

острого угла (1; -2) и уравнение противолежащего катета: 3x – 4y + 2 = 0.

Составить уравнения двух других сторон треугольника.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(-1; -2; 0) и

В(1; 1; 2) и перпендикулярный к плоскости x + 2y + 2z – 4 = 0 .

15. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

М(2; 3; -1) параллельно вектору =(5; -3; 2).

16. При каком значении коэффициента плоскость x + 2y – z + 3 = 0

параллельна прямой ?

 

ВАРИАНТ 28

1. 2. , ,

3., 4. 5.=

6. 7. 8.

9. ={11; -1; 4}, ={1; -1; 2}, ={3; 2; 0} и {-1; 1; 1}.

10. Вычислить площадь треугольника АВС, если A(1; -2; 2), B(1; 4; 0) и

C(-4; 1; 1).

11. Найти угол между векторами и , если А(2; 3; 2), B(-1;-3;-1),

C(-3;-7;-3).

12. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах , и ,

если А(5; 2; 0), B(2; 5; 0), C(1; 2; 4) и D(-1; 1; 1).

13. Вершины треугольника А(2; 0), B(5; 3), C(3; 7). Найти уравнение прямой,

проходящей через вершину В и параллельной медиане АМ треугольника.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (1; -1; 2),

(2; 1; 2) и (1; 1; 4).

15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(1; -1; 0) и

перпендикулярной к плоскости 2x – 4y + z = 3.

16. При каком значении прямая параллельна плоскости

2x + y – z = 0?

 

 

ВАРИАНТ 29

 

1. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={-13; 2; 18}, ={1; 1; 4}, ={-3; 0; 2} и {1; 2; -1}.

10. Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

11. Найти орт , перпендикулярный векторам и .

12. Проверить, лежат ли точки А(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7) и D(7; 5; -3) в

одной плоскости.

13. Вершины треугольника А(0; 4), B(2; -3), C(-4; 5). Составить уравнение

высоты, опущенной из вершины С на медиану, проведенную из вершины А.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1):

а) перпендикулярно и б) параллельно плоскости 2x + 4y + z – 5 = 0.

15. Найти угол между прямыми и .

16. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 3; -1) и

перпендикулярной к плоскости 2x + 4y – 3z = 2.

 

ВАРИАНТ 30

1. 2. , ,

3. , 4.

5. =

6. 7. 8.

9. ={0; -8; 9}, ={0; -2; 1}, ={3; 1; -1} и {4; 0; 1}.

10. Определить внешний угол при вершине А треугольника АВС, если

А(3; 2; -3), B(5; 1; -1) и C(1; -2; 1).

11. Вычислить площадь треугольника АВС, если А(1; -2; 2), B(-5; -5; 3),

C(-4; 1; 1).

12. Будут ли компланарны векторы , и ?

13. Вершины треугольника А(2; -1), B(4; 5), C(-3; 2). Написать уравнение

прямой, проходящей через начало координат и центр тяжести треугольника

АВС.

14. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(2; -1; 1)

перпендикулярно плоскостям 2x - y + 3z – 1 = 0 и x + 2y + z = 0.

15. Составить каноническое уравнение прямой .

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -1; 3)

перпендикулярно прямой .