Основные свойства средней арифметической величины.

Средняя арифметическая величина обладает многими математическими свойствами, имеющими важное математическое значение при ее расчёте. Знание этих свойств помогают контролировать правильность и точность расчёта средней варианты, способствует упрощению процесса расчёта среднего значения признака.

Первое свойство. Алгебраическая сумма отклонения обозначить через ; …..; Сумма всех индивидуальных отклонений, например, в ранжированном ряду будет: Поскольку

Первое свойство теоретически показывает и по отношению к средней арифметической взвешенной. В этом случае сумма взвешенных положительных отклонений от среднего значения признака равняется сумме отрицательных отклонений, а общая сумма всех отклонений равна нулю, т.е. Σ (х-х) f=0.

Первое свойство используется обычно для проверки правильности расчёта средней арифметической величины.

Целесообразно отметить, что в результате округления средней сумма отклонений не всегда равна нулю, но чем эта сумма ближе к нулю, средняя варианта рассчитана точнее. Например, по данным 20 сельскохозяйственных предприятий при расчёте среднее взвешенной урожайности льносоломки примерно округление с точностью до десятых долей центра, а взвешенная сумма индивидуальных отклонений урожайности от средней составила, допустим, 2 ц. В этом случае можно считать, что средняя урожайность льносоломки найдено достаточно верно, так как ошибка за счёт округления средней незначительна. В самом деле, величина допущенной ошибки в расчёте составит менее 0,2 %

Второе свойство. Величина средней не изменится, если частоты (частости) или веса при каждой варианте признака увеличится или уменьшится в одинаковое число раз.

Действительно, если то, например умножив все частоты на постоянную величину α, получим ту же величину средней:

Из второго свойства средней арифметической величины вытекают следующие важнейшие следствия:

– Если частоты при всех вариантах равны между собой, то средняя арифметическая взвешенная равна простой средней, т.е. при равнозначности частот в вариационном ряду можно вычислить вместо взвешенной величины простую.

– При расчёте средней арифметической величины в качестве частот можно использовать частости, т.е. их удельные веса (доли) в общем итоге. Замену абсолютных частот частостями можно рассматривать как умножение их на некоторый коэффициент.

Третье свойство. Если все индивидуальные варианты вариационного ряда увеличить или уменьшить на постоянное число, то средняя величина увеличится или уменьшится на это же число. Обычно в качестве постоянного числа выбирается варианта, расположенная в середине вариационного ряда, что позволяет значительно упростить нахождение средней. Расчёт средней арифметической величины с применением этого свойства, принято называть методом моментов.

Четвёртое свойство. Произведение средней величины на накопленную сумму частот равняется сумме произведения каждой варианты на ее частоту, т.е.

Это свойство вытекает из формулы арифметической взвешенной величины, т.е. если

В сельскохозяйственной сфере АПК, например, произведения средней урожайности на общую посевную площадь даст валовой сбор, а произведение среднегодового удоя на общее поголовье коров позволяет получить валовой надой молока.

Применение основных свойств средней арифметической величина покажем на конкретном примере. Допустим, необходимо рассчитать среднею урожайность по группе зерновых и зернобобовых культур в сельскохозяйственном предприятии. Посевная площадь, урожайность культур, а так же применение второго и третьего свойств средней арифметической величины приведены в табл. 6.4.

Для расчёта средней урожайности зерновых и зернобобовых культур с учётом применения второго и третьего свойств средней воспользуемся данными табл. 6.4.; получим:

Т а б л и ц а 6.4. Применение важнейших свойств при расчёте средней взвешенной урожайности зерновых и зернобобовых культур

 

№ п.п.	Подгруппы культур	Посевная площадь, га	Урожайность, ц/га	Валовой сбор, тыс.ц.	Второе свойство	Третье свойство	Взвешивание урожайностим с учётом второго итретьего свойства
		f	x	xf		x-30
	Озимые			32,0
	Яровые			24,0
	Зернобобовые			8,0		-10	-10
ИТОГО		-	64,0		-

 

Таким образом, применение второго и третьего свойств позволило упростить технику расчёта средней урожайности, которая составила 32 ц/га.

Применение четвёртого свойства поверим также на примере данных табл. 6.4:

как видим, полученный результат (64 тыс. ц.) соответствует валовому сбору, показанному в табл. 6.4., что и подтверждает справедливость четвёртого свойства средней арифметической величины.

Средняя арифметическая величина обладает многими другими свойствами, но они играют менее важную роль и поэтому в учебнике не рассматриваются.