Коэффициенты прямолинейной парной корреляции
Если взаимосвязь между признаками изучаемой парой признаков выражается в форме, близкой к прямой, то степень тесноты связи между этими признаками можно рассчитать при помощи коэффициента прямолинейной парной корреляции. В связи с этим целесообразно отметить, что настоящее время имеется много различных способов расчета коэффициента парной корреляции. Каждый способ учитывает характер и взаимосвязей между изучаемыми признаками в статистической совокупности. Доказано, что наиболее точный результат корреляционной тесноты связи между факторным и результативным признаками может быть получен по следующей формуле:
(11.2)
где r ху – коэффициент парной корреляции между признаком-фактором (х) и признаком – результатом (у); tx – нормированное отклонение по признаку – фактору; t y – нормированное отклонение по признаку – результату.
Последовательность расчета коэффициента парной корреляции по формуле 11.2 заключается в следующем:
1. По данным статистической совокупности рассчитывают среднее значение отдельно по признаку – фактору 
и признаку-результату 
2. По этой же совокупности находят индивидуальные линейные отклонения вариант от среднего значения отдельно по признаку – фактору 
и признаку – результату 
3. По каждому признаку отдельно рассчитывают среднее квадратическое отклонения 
, способы и порядок расчета которых приведен в теме 6.
4. Находят индивидуальные нормированные отклонения отдельно по признаку – фактору 
и признаку – результату 
.
5. Рассчитывают произведения нормированных отклонений по признаку – фактору и признаку – результату t x t y /
6. Находят сумму произведений полученный нормированных отклонений 
7. Рассчитывают среднее произведение нормированных отклонений 
, которое представляет собой коэффициент прямолинейной парной корреляции.
Целесообразно отметить, что коэффициенты корреляции, также как и корреляционные отношения, обладают стабильным свойством, заключающимся в том, сто пределы колебаний этих показателей могут быть выражены следующим образом: -1< r ху < 1. Это означает, что коэффициенты корреляции и корреляционные отношения могут колебаться в пределах, не превышающих единицу.
Сокращенный вариант расчета коэффициента парной корреляции между урожайностью сена многолетних трав и годовым удоем коров в 100 сельскохозяйственных предприятиях по формуле 11.3 приведен в табл. 11.1.
Как видно из данных табл. 11.1, полученное среднее произведение нормированных отклонений по признаку – фактору и признаку – результату 
представляет собой коэффициент парной корреляции между этими признаками. Поскольку этот коэффициент положительный, то взаимосвязь между признаками прямая, а величина коэффициента корреляции (r = 0,7) указывает на среднюю меру зависимости годового удоя одной коровы от урожайности сена многолетних трав.
Необходимо иметь в виду, что абсолютная величина коэффициента корреляции, как и корреляционного отношения может колебаться от 0 до 1, а с учетом направления связи – находится в пределах от 1 до 1. При этом чем ближе коэффициент корреляции к единицы (отрицательной или положительной), тем теснее находится признаки во взаимосвязи.
Расчет коэффициента корреляции по основной формуле 11.2 хотя и дает довольно точный результат, но отличается повышенной трудоемкостью вычисления. Поэтому для измерения степени тесноты связи между факторным и результативным признаками можно рекомендовать формулу, предложенную К. Песоном:
(11.3)
где r xy – коэффициент прямолинейной парной корреляции; 
- среднее произведение факторного и результативного признаков: 
- среднее значение соответственного факторного и результативного признаков, 
- среднее квадратическое отклонение признака – результата.
Т а б л и ц а 11. 1. Расчет вспомогательных показателей для определения коэффициента парной корреляции
| № п.п. | Признак - фактор | Признак - результат | Произведения нормированных отклонений | ||||||
| Урожайность многолетних трав ц/га | Линейные отклонения урожайности, ц/га | Квадраты линейных отклонений | Нормированные отклонения, ц/га | Годовой удой одной коровы, ц | Линейные отклонения годового удоя, кг | Квадраты линейных отклонений | Нормированные отклонения | ||
| Х | 
| 
| 
| y | 
| 
| 
| 
| |
| -10 | -1,0 | -15 | -1,5 | 1,5 | |||||
| -9 | -0,9 | -15 | -1,5 | 1,4 | |||||
| -8 | -0,8 | -1,0 | 0,8 | ||||||
| ... | … | .. | … | … | … | … | … | … | … |
| 2,0 | 1,5 | 3,0 | |||||||
| Σ | - | - | - | - | 70,0 | ||||
| Среднее | - | 
| - | - |
| - | 0,7 |
При расчете коэффициента прямолинейной парной корреляции по формуле 11.3 в общем виде можно воспользоваться макетом вспомогательной табл. 11.2.
Т а б л и ц а 11.2. Схема расчета вспомогательных показателей для определения коэффициента парной корреляции
| № п.п. | Факторный признак | Результативный признак | Произведение факторного и результативного признаков | ||||
| Варианты | Линейные отклонения | Квадраты линейных отклонений | Варианты | Линейные отклонения | Квадраты линейных отклонений | ||
| Х |
| 
| у | 
| 
| ху | |
| Х1 | 
| 
| у1 | 
| 
| 
| |
| Х2 | 
| 
| у2 | 
| 
| 
| |
| … | … | … | … | … | … | … | … |
| n | Хn | 
| 
| уn | 
| 
| 
|
| Σ | ΣХ | - | 
| ΣУ | - | 
| Σху |
Допустим, имеется достаточно обширная статистическая информация по 100 фермерским хозяйствам, в т.ч. данные о дозах внесения минеральных удобрений (в д.в.) и урожайности зерновых культур. Необходимо рассчитать коэффициент корреляции и с его помощью оценить тесноту зависимости урожайности зерновых культур от доз вносимых минеральных удобрений. С этой целью проведем вспомогательные расчеты, сокращенный вариант которых приведен в табл. 11.3.
Т а б л и ц а 11.3. Расчет вспомогательных показателей для определения коэффициента парной корреляции
| № п.п. | Факторный признак (х) | Результативный признак (у) | Произведение факторного и результативного признаков | ||||
| Варианты | Линейные отклонения | Квадраты линейных отклонений | Варианты | Линейные отклонения | Квадраты линейных отклонений | ||
| Х |
|
| у |
| 
| 
| |
| -61 | 16,9 | -7,0 | 49,00 | 946,4 | |||
| -59 | 17,2 | -6,7 | 44,89 | 997,6 | |||
| -54 | 18,0 | -5,7 | 34,81 | 1134,0 | |||
| … | … | … | … | … | … | … | … |
| … | … | … | … | … | … | … | … |
| 37,4 | 13,5 | 182,25 | 6844,2 | ||||
| Σ | - | - | |||||
| Среднее | - | 23,9 | - | 28,81 | 2891,5 |
Данные табл. 11.3 позволяют найти необходимые составляющие парного коэффициента корреляции. Прежде всего необходимо рассчитать среднюю дозу удобрений (по формуле средней арифметической простой величины, см. 6.4):
Среднюю урожайность зерновых культур находим также по формуле 6.4.:
Среднее произведение доз удобрений и урожайности зерновых культур рассчитываем следующим образом:
В совою очередь среднее квадратическое отклонение по признаку – фактору (дозам удобрений) рассчитаем по формуле 6.17:
Среднее квадратическое отклонение по признаку-результату (урожайность зерновых культур) найдем также по формуле 6.17:
Теперь, зная необходимые составляющие, рассчитаем коэффициент корреляции по формуле 11. 3:
Это означает, что между урожайностью зерновых культур и дозами минеральных удобрений существует прямая, средней тесноты, зависимость, а на урожайность зерновых культур, кроме минеральных удобрений, оказывают влияние многие другие факторы.