Корреляционную связь в форме, близкой к прямолинейной, можно представить в виде уравнения прямой линии:
(11.8)
где - среднее значение результативного признака; х – значение факторного признака; - параметр уравнения, характеризующий минимальное значение результативного признака; - коэффициент пропорциональности изменения признака – результата.
Целесообразно обратить внимание на то, что в уравнении 11.8 параметр характеризует среднее значение результативного признака У при элиминировании признака-фактора Х, т.е. Х=0. Коэффициент в зависимости от знака + или – показывает пропорциональность изменения результата У, т.е. его приращения или убывания при абсолютном изменении фактора на каждую его единицу.
Для нахождения параметров , уравнения 11.8 составляют и решают следующую систему нормальных уравнений:
(11.9)
(11.10)
При расчете искомых параметров ,можно воспользоваться макетом табл. 11.5.
Т а б л и ц а 11.5. Вспомогательные расчеты для определения параметров уравнения прямолинейной связи
№ п.п. | Признак-фактор | Признак результат | Квадрат признака-фактора | Произведение признака-фактора и признака-результата |
Х | у | Х2 | ху | |
Х1 | у1 | |||
Х2 | у2 | |||
… | … | … | … | … |
n | Хn | уn | ||
Σ | ΣХ | ΣУ | ΣХ2 | Σху |
Таким образом, для решения системы нормальных уравнений (11.9 и 11.10) необходимо найти значения ΣХ, ΣУ, ΣХУ и ΣХ2.
Допустим необходимо определить, как изменится в среднем урожайность рапса в зависимости от колеблемости доз минеральных удобрений по данным статистической совокупности из 30 сельскохозяйственных предприятий, если известно, что дозы удобрений колеблется в пределах от 56 до 183 кг действующего вещества на 1 га, а урожайность рапса – от 16,9 до 30,4 ц/га.
Для составления уравнения прямолинейной регрессии 11.8 по имеющимся данным необходимо решить систему нормальных уравнений. С этой целью прежде всего составил рабочую табл. 11.6. подставим полученные в табл. 11.6 конкретные значения Σх=3283, Σу=640, Σху=91204 и Σх2=535692 в уравнении 11.9 и 11.10 получим:
Для расчета коэффициента пропорциональности разделим уравнения 1,2 на числа, находящиеся при . Получим:
Т а б л и ц а 11.6. Вспомогательные расчеты для определения параметров уравнения прямолинейной взаимосвязи
№ п.п. | Дозы удобрений, кг/га | Урожайность рапса, ц/га | Произведение вариант | Квадрат доз удобрений |
Х | У | ХУ | Х2 | |
16,9 | ||||
17,2 | ||||
… | … | … | … | … |
30,4 | ||||
Σ |
Вычтем четвертое уравнение из третьего. Получим 21,3 – 27,7 = а+а+109,4в – 163,2 в; - 6,4 = - 53,8 в; в = 0,12.
Теперь найдем параметр а, подставим значение в, например, в третье уравнение: 21,3 = а + 109,4. 0,12; а=8,2.
Прямолинейной регрессии, выражающее зависимость между дозами минеральных удобрений и урожайностью рапса, имеет следующий вид:
(11.11)
Коэффициент пропорциональности в показывает, что повышение доз внесения в почву минеральных удобрений на 1 кг действующего вещества может вызвать рост урожайности рапса в сельскохозяйственных предприятиях на 12 кг (0,12 ц/га). Это свидетельствует о существенной роли минеральных туков в достижении высоких и устойчивых урожаев сельскохозяйственных культур.