СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ

Пусть изучается случайная величина Х с предполагаемыми математическим ожиданием и дисперсией

Несмещенной точечной оценкой для служит выборочная средняя:

,

где варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального вариационного ряда; - соответствующие им частоты (веса); объем выборки.

Смещенной точечной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия:

 

которую можно вычислять по более удобной формуле:

 

Несмещенной точечной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:

.

Рассмотрим два случая для нахождения доверительного интервала для математического ожидания.

а) Пусть для с.в. ~ математическое ожидание т неизвестно, а дисперсия известна. По наблюдениям находим точечную оценку математического ожидания т. Зададимся вероятностью и находим такое число , чтобы выполнялось соотношение

 

Интервальная оценка (доверительный интервал) математического ожидания при известной дисперсии генеральной совокупности такова:

 

где - точность оценки, п - объем выборки, t - значение аргумента функции Лапласа, при котором выполняется равенство Ф(t)

б) Рассмотрим случай, когда для с.в. ~ неизвестны ни т, ни По выборочным данным

вычислим среднее и - несмещенная оценка неизвестной дисперсии. Задаемся доверительной вероятностью и найдем , чтобы выполнялось соотношение:

,

где находят по из решение уравнения , используя таблицы функции Лапласа по заданным и - числу степеней свободы. В результате чего, с вероятностью можно утверждать, что среднее дает значение неизвестного математического ожидания с точностью , а интервальная оценка математического ожидания (доверительный интервал) такова:

 

Доверительный интервал для в предположении, что математическое ожидание неизвестно. Итак, мы рассматриваем нормально распределенную с.в. Х, дисперсия и математическое ожидание т которой неизвестны. Проводим п наблюдений этой величины. По этим результатам вычисляем среднюю . За оценку среднего квадратического отклонения примем

Задаемся надежностью интервальной оценки и находим такое число , чтобы выполнялось равенство

 

Среднее квадратическое отклонение случайной величины всегда положительное число, поэтому разумнее находить не из предыдущего условия, а из условия

 

где

Введем в рассмотрение величину которая находится из справочных данных по заданным п и . Доверительным интервалом для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения по исправленному выборочному является интервал

, если ,

или , если .

 

Пример 8.Найти доверительный интервал для оценки параметра т (математического ожидания) с надежностью если

Решение.Воспользуемся таблицей функции Лапласа для определения значения параметра t . Доверительный интервал для математического ожидания т с известной дисперсией в этом случае будет:

 

Подставим среднее выборочное Окончательно получим:

 

 

Пример 9.Произведено 5 независимых опытов с.в. Х, распределенной нормально, с неизвестным параметром т и известным Результаты опытов:

 

Найти оценку для математического ожидания т, а также построить для него 90%-ный доверительный интервал.

Решение.Так как оценкой параметра т является выборочное среднее , то исходя из опытных данных, получим

 

Далее, решая уравнение получаем

Тогда доверительный интервал для т при известном будет:

или

 

Пример 10.Из генеральной совокупности извлечена выборка:

	-2

Найти доверительный интервал для математического ожидания т с надежностью при условии нормального распределения генеральной совокупности.

Решение. Вычисляем выборочное среднее с учетом того, что объем выборки

 

Так как параметр неизвестен, то вычисляем его оценку – исправленное среднее квадратическое отклонение:

 

Из табличных данных при находим Доверительный интервал для параметра т с надежностью будет

или

Пример 11.Пусть в результате измерения диаметры четырех случайно отобранных однотипных подшипников оказались равными Считая распределение диаметров подшипников нормальным, найти доверительный интервал для истинного диаметра d подшипников с доверительной вероятностью .

Решение.Найдем выборочное среднее

 

Вычислим исправленное среднее квадратическое отклонение:

Согласно распределения Стьюдента при трех степенях свободы и находим

Следовательно, Отсюда, искомый доверительный интервал будет

(0,25-0,13;0,25+0,13)=(0,12;0,38).

Из полученного результата следует вывод: можно утверждать, что примерно в 95% истинный диаметр подшипников находится в интервале (0,12;0,38).