Элементы векторной алгебры. Линейные векторные пространства

Элементы векторной алгебры. Линейные (векторные) пространства.

1) для любых х; у Є ЛП L сумма (х + у) Є L 2) для любых х Є L и любого числа λ произведение λ х Є L. Аксиомы:

Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства.

Опр. Вектор α1 а1+ α2 а2+…+ αn аn Є L, где αi (i = 1,…,n)- числа, называется линейная комбинация векторов а1, а2, а3, … аn. Опр. Система векторов линейного пространства а1, а2, а3, … аn Є L называется… Опр. Система векторов а1, а2, а3, … аn Є L называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует набор чисел α1,…

Теорема о линейной зависимости системы векторов линейного пространства.

Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы какой- нибудь вектор этой системы был… Док-во: Н ( ) есть ЛЗ система. Нужно доказать, что один вектор ЛК всех… а1, а2, а3, … аn – ЛЗ система векторов, т.е. существует число ≠ 0 α1, α2 ,α3 … αn, что ЛК…

Лекция 2. Размерность и базис линейного пространства.

Другими словами, размерность ЛП - это максимальное количество ЛНЗ векторов, помещающихся в этом пространстве. Опр. Любые n ЛНЗ векторов ЛП размерности n l1, l2, ... ,ln называется базисом… Пр. 1) Любой не нулевой вектор на прямой ЛНЗ и является базисом ЛП всех векторов на прямой.

Теорема о разложении вектора по базису.

Док-во: Рассмотрим ЛП размерностью n с базисом l1, l2, ... ,ln, вектор а Є ЛП. Система векторов l1, l2, ... ,ln, а, отсюда следует, что система ЛЗ,… Покажем, что коэффициент αn+1 ≠ 0 от противного. Допустим, что… Получили противоречие тому, что базис l1, l2, ... ,ln- ЛНЗ, отсюда следует αn+1 ≠ 0.

Координаты вектора в данном базисе. Операции с векторами в координатной форме.

Рассмотрим в ЛП размерности n базис l₁, l₂, ... ,l_n. Любой вектор ЛП разлагается в линейную комбинацию базисов. х = α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n (по теореме о разложении по базису), х Є ЛП.

Опр. Упорядоченный набор чисел, участвующий в разложении вектора по базису (α_1, α_2,… α_n) называется координатами этого вектора в данном базисе.

х =( α_1, α_2,… α_n) – координаты вектора ЛП.

Операции:

1) для того, чтобы сложить два вектора ЛП в координатной форме нужно сложить их соответствующие координаты.

Док-во: Возьмем два вектора ЛП.

+

х =(α_1, α_2,… α_n)= α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n

у = (β_1, β₂, … β_n)= β₁ l₁+ β₂l₂+…+β_n l_n

х + у = (α₁ β₁, α₂ β_2,… α_n β_n) = (α₁ + β₁)l₁+(α₂ + β₂)l₁+…+(α_n β_n)l₁

2) чтобы вектор в координатной форме умножить на число нужно каждую координату умножить на это число.

Док-во: х =(α_1, α_2,… α_n)= α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n

λх = (λ₁α_1, λ₂α_2,… λ_nα_n)= λ₁α₁ l₁+ λ₂α₂ l₂+ ... +λ_nα_n l_n

Лекция 3. Декартовая система координат.

   

Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.

       

Проекция вектора на ось.

Через т. А и т. В проведем плоскости ┴оси l, и найдем точки пересечения плоскости с осью. Перенесем вектор АВ в точку А1, А1В1(проекция)=АВ. Из прямоугольного… │АВ│· cos φ= AB. Проекцияl АВ= │АВ│· cos φ, где φ- это угол между вектором и…

Две теоремы о проекциях.

Теорема 1 пр_l(а + b)= пр_l a + пр_l b

Теорема 2 пр_l (λа)= λ пр_l а

 

Связь между координатами вектора и проекциями вектора на координатной оси.

 

пр_OY АВ= y₁- y₂

Аналогично, что пр_OX АВ= x₁- x₂

пр_OZ АВ= z₁- z₂

Вывод: проекцией вектора на координатные оси совпадает с координатами вектора.

 

Условие коллинеарности двух векторов.

b= λa. В координатной форме:

Лекция 4. Скалярное произведение векторов.

По определению a · b= │a││b│· cos φ - связь между скалярным произведением и проекцией вектора на вектор.

Свойства скалярного произведения.

a · b= │a││b│· cos φ= │b││a│· cos φ= b · a   2° a · b= 0, т.к. a ┴ b или a или b= 0

Скалярное произведение координатных ортов.

i × j= 0, так как i ^ j (из 2°)

i × k= 0, так как i ^ k (из 2°)

k × j= 0, так как k ^ j (из 2°)

i × i=│i│² = 1²=1

j × j=│j│² = 1²=1

k × k=│k│² = 1²=1

 

Скалярное произведение в координатной форме.

Возьмем два вектора в координатной форме

b= (bx, by, bz)= bxi + byi + bzk a × b= (axi + ayi + azk) (bxi + byi + bzk)= axi bxi + axi byi + axi bzk… ay bx i× j + ay by j× j + ay bz i× k + az bx i× k + az by k× j + az bz k× k= ax bx…

Приложения скалярного произведения.

1) Угол между векторами

Ðj- острый, cos j> 0, отсюда следует, что a × b> 0

Ðj- тупой, cos j< 0, отсюда следует, что a × b< 0

Ðj= 90°, cos j= 0, отсюда следует, что a × b= 0

2) Проекция вектора на вектор

Пр. Дан треугольник АBС, т. A(2, -1, 3), т. B(4, 0, 1), т. С(-1, 3, 0). Найти угол А, пр_AC AB-?

 

Понятие евклидова пространства.

1° x × y= y × x 2° (lx) y= l(xy) 3° x (y + z)= xy + xz

Лекция 5. Векторное произведение двух векторов.

1° │с│=│a││b│sin φ, где Ðj= a,b 2° вектор c ^ a, c ^b, т.е. с ^ плоскости, в которой лежат вектора а и b. 3° тройка векторов a, b, c – правая

Векторные произведения координатных ортов.

Если первый орт умножить векторно на второй орт, то по стрелке получим третий орт, причем взятый с «+», если поворот против часовой стрелке и… i´j= k i´k= -j

Векторное произведение в координатной форме.

ay bx i× j + ay by j×j + ay bz i× k + az bx i× k + az by k× j + az bz k× k= ax by k - ax bx j- ay bx k+ ay bz i+… - для вычисления векторного пространства в координатной форме.  

Приложения векторного произведения.

1) S параллелограмма, построенного на векторах a и b, как на сторонах, численно равна модулю векторного произведения a ´ b.

S_пар=│a ´ b│

Из геометрии S_пар=│a ´ b│ sin φ из выражения │a ´ b│= │a││b│sin φ, отсюда следует, что S_пар=│a ´ b│

Следствие: из геометрии S_пар=│a│h_a,

 

2)

3) a ║b, отсюда следует, что a´b= 0 (из условия коллинеарности двух векторов.

│ a´b│= │a││b│sin φ= 0,

│ a´b│= 0.

Пр. Дано a= 2p – q, b= p+ 3q, │q│=2,│p│=1, Ðj = (p, q)= . Найти S_квад-?

Дано ∆ABC, т. А(2, -1, 3), т. B(4, 0, -2), т. С(1, -1, 3). Найти S_∆-?, h_AB-?

Смешанное произведение трех векторов.

По определению abc. Чтобы вычислить смешанное произведение нужно: 1) вектор a´b= вектор

Лекция 6. Смешанное произведение в координатной форме.

а= (ах, ау, аz)= axi + ayi + azk b= (bx, by, bz)= bxi + byi + bzk с= (сx, сy, сz)= сxi + сyi + сzk

Приложение смешанного произведения.

1) Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех векторах как на ребрах.

V_парал= │abc│

Из геометрии V_парал= S_осн· h

S_осн= S_квад= │ a´b │ из приложения векторного произведения.

h= │с││cos φ│

V_парал= │ a´b ││c││cos φ│=│(a´b) · с │=│abc│

Следствие: высота параллелепипеда h=

 

2) Из геометрии V_тетр= V_парал=│abc│

V_тетр= S_осн· h

h_тетр=

 

3) Если смешанное произведение abc>0, то тройка векторов правая, если abc<0, то тройка векторов левая.

abc= (a´b) · с = │ a´b ││c││cos φ│

abc>0, cos φ >0, Ðj- острый, abc- правая тройка

abc<0, cos φ <0, Ðj- тупой, abc- левая тройка

4) abc- коллинеарные (║ одной плоскости или лежат в одной плоскости), abc=0- условие коллинеарности трех векторов.

a´b ^ плоскости α

a´b ^ с, (a´b) · с = 0 (условие перпендикулярности двух векторов), abc=0

 

Пр. Лежат ли четыре точки A(2, -1, 3), B(4, 0, 1), C(5, -1, 2), D() в одной плоскости?

 

Задание вектора в пространстве.

Любой вектор в пространстве имеет длину и направление. Длина вектора │а│=. Направление вектора задают три направляющих cos → cos α, cos β, cos γ, где Ðα- угол между а и ОХ, Ðβ- угол между а и ОУ, Ðγ- угол между а и OZ.

 

 

Ðα= a, i

Ðβ= a, j

Ðγ = a, k

cos α=

cos β=

cos γ=

Свойство направляющих косинусов:

cos² α+ cos² β+ cos² γ= 1

Опр. Единичный вектор, имеющий своими координатами направляющие cos вектора а называется единичным вектором направления а и обозначается а₀= (cosα, cosβ, cosγ).

 

Аналитическая алгебра.

Лекция 1. Плоскость в пространстве.

N= (A, B, C) Пусть т. М0 (x0, y0, z0)- произвольная фиксированная точка плоскости, т. М (x,…    

Анализ общего уравнения.

нет х, нормаль N= (0, B, C) скалярное произведение N· i= 0· 1+ B· 0+ C· 0= 0, N ^ i, N ^ OX, плоскость… Аналогично, В=0, нет у, плоскость ║ОУ,

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

Пусть т. М1(x1, y1, z1) т. М2 (x2, y2, z2) Є плоскости т. М3(x3, y3, z3)

Уравнение плоскости в отрезках.

т. А (а, 0, 0) т. В (0, b, 0) Є плоскости т. C (0, 0, c)

Взаимное расположение двух плоскостей.

Плоскость 1 ║ плоскости 2, отсюда следует, что ║. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. - условие параллельности двух плоскостей. Если , то такие плоскости будут… 2) Плоскость 1 ^ плоскости 2

Прямая в пространстве.

l= (m; n; p) ║прямой S- в подобиях т. М0- произвольная фиксированная точка прямой

Лекция 2. Общие уравнения прямой в пространстве.

- общее уравнение прямой в пространстве. Замечание: такое задание прямой не однозначно.

Переход от одних уравнений прямой к другим.

 

Взаимное расположение прямых в пространстве.

  l1 ║ l2,отсюда следует, что - условие параллельности двух прямых в…  

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Возможны следующие случаи расположения: 1) Прямая ^ плоскости. N║l, - условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Различные расстояния в пространстве.

Найдем расстояние от т. М0 (x0, y0, z0) до плоскости Ax+ By+ Cz+ D=0. Рассмотрим от точки до плоскости это длина перпендикуляра, опущенного из точки… а) Составим параметрические уравнения прямой

Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

На одной плоскости нужно взять произвольную точку и найти расстояние от этой точки до другой плоскости.

 

Расстояние между прямой и параллельной плоскостью.

Расстояние от точки до прямой.

Проведем через т. М0 плоскость перпендикулярную прямой (проектирующая плоскость). Найдем точку пересечения прямой и плоскости. а) Составим уравнение плоскости

Лекция 3. Прямая на плоскости.

М (х, у)  

Взаимное расположение прямых на плоскости.

  Пр. Дан прямоугольник АВС, т. А(2, 1), т. В(3, 0), т. С(-4, 2). Найти…  

Лекция 4. Кривые второго порядка.

Общее уравнение . Будем рассматривать окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

 

Окружность.

Пусть центр окружности С (а, b) и радиус равен R, т. М (х, у)- текущая точка. По определению │СМ│=R, , - нормальное уравнение окружности.

Эллипс.

Расположим эллипс так, чтобы фокусы находились на оси ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. Обозначим расстояние между фокусами… F1 (-c, 0)- левый фокус

Гипербола.

Расположим гиперболу так, чтобы фокусы находились на оси ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. │F1F2│=2c

Парабола.

Расположим параболу так, чтобы начало координат находилось посредине между F и директрисой, причем фокус лежал на оси ОХ. Обозначим расстояние между F и директрисой p.

Сфера в пространстве.

Пусть центр сферы С (a, b, c), радиус R, т. М (х, у, z)- текущая точка сферы. По определению │СМ│= R.