Границя функції. Геометричний зміст. Односторонні границі функції

Зафіксуємо певне значення , в околі якого функція визначена, в самій точці функція може і не існувати. Точка називаються граничною точкою множини , якщо у будь-якому околі точки існують значення відмінні від .

Означення.Функція має границю при що прямує до (або в точці ), якщо для будь-якої послідовності значень аргументу, збіжної до відповідна послідовність значень функції збігається до .

Отже, якщо

Границю функції пишуть у такому вигляді: або при або

В останніх формулах послідовність нескінченно велика. Якщо при то функцію називають нескінченно великою при .

Якщо при , то функцію називають нескінченно малою при

Наприклад, є функція нескінченно велика при і нескінченно мала при .

Приклад . Довести, що

Розглянемо різницю між і

В знаменнику величина нескінченно велика, а чисельник цього дробу стала величина. Отже, дріб буде нескінченно малою. Таким чином, різниця між і числом є нескінченно малою, а це означає, що

Приклад . Довести, що не існує.

Функція визначена для всіх . Візьмемо послідовність значень аргументу прямує до нуля;

, а тоді

Візьмемо другу послідовність аргументу

Послідовність значень функції

Отже, не існує, тому що для двох різних послідовностей значень , що збігаються до нуля, одержані різні границі відповідних послідовностей значень функцій.

Наведемо означення границі функції за Коші.

Означення .Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім можливо, самої точки . Число називають границею функції в точці , тобто якщо для довільного числа існує таке число що нерівність виконується для всіх

Геометричний зміст границі функції. Якщо число є границею функції при то який би малий -окіл точки ми не взяли, знайдеться такий окіл точки , що для всіх відповідні значення функції містяться в смузі шириною (рис.6.2).

Рис.6.2

 

Звернемо увагу на поняття односторонніх границь функції.

Згідно з означенням границі функції співвідношення передбачає, щоб відповідні умови означення виконувались для всіх точок близьких до як справа так і зліва. Але на практиці існують функції, що поводяться по різному поблизу точки .

Наприклад,

 

В зв’язку з цим вводяться поняття правосторонньої та лівосторонньої границі.

Означення.Число називають границею функції зліва (справа) в точці , якщо для будь-якої послідовності значень аргументу збіжної до відповідна послідовність значень функції збігається до .

Позначається: ліва границя:

,

права границя:

.

Між односторонніми границями та границею функцій в точці має місце певний зв’язок. Якщо односторонні границі функції існують і рівні , то існує , тобто .