Властивості збіжних послідовностей формулюються в вигляді теорем, які далі застосовуються в теоретичних та практичних дослідженнях.
Теорема. 1. Якщо змінна має границю (), то починаючи з деякого номеру і сама змінна
Теорема 2. Якщо змінна має скінченну границю, то вона обмежена.
Теорема 3. Якщо змінна має скінченну границю, то ця границя тільки єдина.
Теорема 4. Якщо члени послідовностей то ї границі задовольняють таку саму нерівність
Теорема 5. Якщо члени послідовностей починаючи з деякого задовольняють нерівність
та
то послідовність також збіжна і
Теорема 6. Якщо послідовність монотонно зростає (спадає) і обмежена зверху (знизу), то така послідовність має границю.
Доведення ціх теорем може бути розглянуто як теоретичні приклади.