Реферат Курсовая Конспект
Векторний добуток векторів. Мішаний добуток. - раздел Математика, Розділ 2. Векторна алгебра Задаємо У Просторі Додатню Орієнтацію. Будемо Вважати, Що Трійка Векторів ...
|
Задаємо у просторі додатню орієнтацію. Будемо вважати, що трійка векторів орієнтована за правилом правої руки, тобто з кінця третього вектора найменший оберт від першого до другого видно проти годинникової стрілки (рис.4.7),
Рис.4.7. Рис.4.8.
Означення. Векторним добутком двох векторів та називають вектор , що задовольняє наступним умовам:
1. Модуль вектора чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах ,(рис.4.8)
,
де
2. Вектор напрямлений перпендикулярно до площини цього паралелограма, тобто
і .
3. Впорядкована трійка векторів () задає додатню орієнтацію простору.
Властивості векторного добутку:
1. При зміні порядку співмножників векторний добуток змінює свій знак на протилежний, модуль при цьому не змінюється.
.
Дійсно при перестановці векторів та площа паралелограма, побудованого на векторах, не змінюється, однак орієнтація векторів і буде лівою.
2. Векторний квадрат дорівнює нуль – вектору, тобто
(за визначенням).
3. Скалярний множник можна виносити за знак векторного добутку, тобто якщо скаляр, то
.
4. Для будь-яких трьох векторів справедлива рівність
(розподільна властивість).
Розглянемо координатну форму векторного добутку. Нехай
Якщо помножити векторно , одержимо таку рівність
Останню рівність можна записати у вигляді визначника третього порядку
Знайдемо довжину вектора :
.
Приклад. Знайти площу трикутника з вершинами , і .
Площа трикутника дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і . і , звідси
=.
Отже,
.
Означення. Мішаним добутком (або векторно-скалярним добутком) векторів , , називається число
.
Побудуємо паралелепіпед (рис. 4.9), ребрами якого є вектори ,,, що приведені до загальної вершини . Нехай вектор , тобто він перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори і (напрям ). Нагадаємо, що – площа паралелограма, побудованого на векторах і , тобто площа основи паралелепіпеда. Висота цього паралелепіпеда H
.
Знак плюс відповідає гострому куту , знак мінус – тупому куту . У першому випадку вектори утворюють праву трійку, а у другому – ліву трійку.
Рис. 4.9
На основі визначення скалярного добутку маємо:
,
де – об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , , . Звідси
,
тобто мішаний добуток трьох векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, який береться із знаком плюс, якщо ці вектори утворюють праву трійку, та з знаком мінус, якщо вони утворюють ліву трійку.
Зазначимо основні властивості мішаного добутку:
1. Мішаний добуток не змінюється при циклічній перестановці цого співмножників, тобто
.
Дійсно у цьому випадку не змінюється об’єм паралелепіпеда та орієнтація його ребер.
2. При перестановці двох сусідніх співмножників мішаний добуток змінює свій знак на протилежний:
,
тобто при перестановці співмножників права трійка переходить у ліву, а ліва у праву. За допомогою мішаного добутку одержимо необхідну та достанню умову компланарності трьох векторів :
(об’єм паралелепіпеда дорівнює нулю).
Якщо
то, використовуючи вирази у координатах для векторного та скалярного добутків, одержимо:
.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Лекція Вектори та дії над ними Скалярний векторний та мішаний добутки векторів... Вектори у геометричній формі та дії над ними...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Векторний добуток векторів. Мішаний добуток.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов