рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Векторний добуток векторів. Мішаний добуток.

Векторний добуток векторів. Мішаний добуток. - раздел Математика, Розділ 2. Векторна алгебра Задаємо У Просторі Додатню Орієнтацію. Будемо Вважати, Що Трійка Векторів ...

Задаємо у просторі додатню орієнтацію. Будемо вважати, що трійка векторів орієнтована за правилом правої руки, тобто з кінця третього вектора найменший оберт від першого до другого видно проти годинникової стрілки (рис.4.7),

 

Рис.4.7. Рис.4.8.

 

Означення. Векторним добутком двох векторів та називають вектор , що задовольняє наступним умовам:

1. Модуль вектора чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах ,(рис.4.8)

 

,

де

 

2. Вектор напрямлений перпендикулярно до площини цього паралелограма, тобто

і .

3. Впорядкована трійка векторів () задає додатню орієнтацію простору.

Властивості векторного добутку:

1. При зміні порядку співмножників векторний добуток змінює свій знак на протилежний, модуль при цьому не змінюється.

 

.

Дійсно при перестановці векторів та площа паралелограма, побудованого на векторах, не змінюється, однак орієнтація векторів і буде лівою.

2. Векторний квадрат дорівнює нуль – вектору, тобто

 

(за визначенням).

 

3. Скалярний множник можна виносити за знак векторного добутку, тобто якщо скаляр, то

 

.

 

4. Для будь-яких трьох векторів справедлива рівність

 

 

(розподільна властивість).

Розглянемо координатну форму векторного добутку. Нехай

 

 

Якщо помножити векторно , одержимо таку рівність

 

 

Останню рівність можна записати у вигляді визначника третього порядку

Знайдемо довжину вектора :

.

Приклад. Знайти площу трикутника з вершинами , і .

Площа трикутника дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і . і , звідси

=.

Отже,

.

 

Означення. Мішаним добутком (або векторно-скалярним добутком) векторів , , називається число

 

.

 

Побудуємо паралелепіпед (рис. 4.9), ребрами якого є вектори ,,, що приведені до загальної вершини . Нехай вектор , тобто він перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори і (напрям ). Нагадаємо, що – площа паралелограма, побудованого на векторах і , тобто площа основи паралелепіпеда. Висота цього паралелепіпеда H

.

Знак плюс відповідає гострому куту , знак мінус – тупому куту . У першому випадку вектори утворюють праву трійку, а у другому – ліву трійку.

Рис. 4.9

На основі визначення скалярного добутку маємо:

 

,

 

де – об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , , . Звідси

,

 

тобто мішаний добуток трьох векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, який береться із знаком плюс, якщо ці вектори утворюють праву трійку, та з знаком мінус, якщо вони утворюють ліву трійку.

Зазначимо основні властивості мішаного добутку:

1. Мішаний добуток не змінюється при циклічній перестановці цого співмножників, тобто

.

 

Дійсно у цьому випадку не змінюється об’єм паралелепіпеда та орієнтація його ребер.

2. При перестановці двох сусідніх співмножників мішаний добуток змінює свій знак на протилежний:

,

 

тобто при перестановці співмножників права трійка переходить у ліву, а ліва у праву. За допомогою мішаного добутку одержимо необхідну та достанню умову компланарності трьох векторів :

 

(об’єм паралелепіпеда дорівнює нулю).

Якщо

 

то, використовуючи вирази у координатах для векторного та скалярного добутків, одержимо:

 

.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Розділ 2. Векторна алгебра

Лекція Вектори та дії над ними Скалярний векторний та мішаний добутки векторів... Вектори у геометричній формі та дії над ними...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Векторний добуток векторів. Мішаний добуток.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Вектори у геометричній формі та дії над ними
Вектором називається напрямлений відрізок. Початок вектора називається точкою його прикладення. Зображується вектор відрізком зі стрілкою, що розташована біля кінця вектора (рис.4.1). Позначається

Прямокутна система координат. Вектори, що задані своїми координатами
  Нехай (рис. 4.3) три взаємно перпендикулярні прямі, які мають напрямки та масштаб.

Скалярний добуток векторів та його властивості
  Визначення. Скалярним добутком двох векторів та

Запитання для самодіагностики
1.Що таке прямокутна система координат? 2. Чим визначається положення точки в прямокутній системі координат? 3. Як обчислюється відстань між точками в прямокутній системі координа

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги