ОЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

При вивченні багатьох процесів, які відбуваються у природі, доводиться мати справу з функціями двох і більше незалежних змінних.

Означення 1. Якщо кожній заданій парі (x;y) значень двох, незалежних одна від одної, змінних величин х та y з деякій множині D відповідає одне певне значення величини z, то z називається функцією двох незалежних змінних х та y і позначається z=f(x;y). Множина D називається областю визначення функції z, а множина Е – областю її значень. Змінні х та y щодо функції z називаються її аргументами.

У загальному випадку область визначення функції z може подаватися деякою множиною точок (x;y) площини xOy. В окремих випадках областю визначення може бути і вся площина xOy.

Означення 2. Якщо область визначення – це частина, обмежена деякою лінією, то ця лінія називається межею області. Точки області, які не лежать на межі, називаються внутрішніми точками області. Область, яка складається тільки із внутрішніх точок, називається відкритою. Якщо область складається із внутрішніх точок та точок, які лежать на межі, то область називається замкненою.

Приклад 1. Знайти область визначення функції .

Очевидно, що функція z визначена лише тоді, коли , тобто коли . Цю нерівність задовольняють координати тих точок площини xOy, що містяться всередині і на межі круга радіусом 2 і з центром на початку координат (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Приклад 2. Знайти область визначення функції .

Відомо, що логарифм визначений тільки для додатних чисел. Тому повинна задовольнятись нерівність або . Це означає, що областю визначення функції z є половина площини xOy, розміщена над прямою y=x і яка не містить у собі точок цієї прямої (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Сама функція двох змінних може бути зображена у просторі у вигляді поверхні, що визначається рівнянням z=f(x;y), і називається рівнянням поверхні.

Наприклад, поверхня, що визначається рівнянням – параболоїд обертання (рис. 1.3).

Рис. 1.3

В більшості випадків побудова поверхонь викликає великі складнощі. Тому часто обмежуються дослідженням ліній рівня функції z=f(x;y). Лінія рівня – це множина точок (x ; y) площини xOy, в яких функція набуває одного й того ж значення, тобто лінії рівня визначаються рівнянням f(x;y)=С, де С – довільна стала.

Означення 3. Якщо кожній заданій сукупності (x;y;z) значень трьох, незалежних одна від одної, змінних величин x, y, z з деякої множини D відповідає одне певне значення величини u, то u називається функцією трьох незалежних змінних x,y та z і позначається u=f(x;y;z). Множина D називається областю визначення функції u. Область D визначення функції трьох змінних x, y та z – це деяка множина точок (x;y;z) простору Oxyz. Поверхня рівня функції u=f(x;y;z) – це множина точок (x;y;z) простору Oxyz, в яких вона набуває одного й того ж значення. Поверхні рівня визначаються рівнянням f(x;y;z)=С, де С – довільна стала.

Аналогічно можна ввести означення функції і більшого, ніж 3, числа змінних.

Надалі основна увага буде зосереджена на функціях двох змінних.