Реферат Курсовая Конспект
ЧАСТИННІ ПОХІДНІ - раздел Математика, ДО ВИКОНАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ З КУРСУ ВИЩА МАТЕМАТИКА ДО ТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ Означення 4. Частинний Приріст Функції Z=F(Х;y) По X У Т...
|
Означення 4. Частинний приріст функції z=f(х;y) по x у точці M(x;y) визначається формулою . (2.1)
Означення 5. Частинний приріст функції z=f(х;y) по y у точці M(x;y) визначається формулою . (2.2)
Означення 6. Повний приріст функції z=f(x;y) у точці M(x;y) визначається формулою . (2.3)
Означення 7. Окіл радіуса r точки M0(x0;y0) – це сукупність усіх точок M(x;y), які задовольняють нерівності , тобто сукупність усіх точок, які лежать на полі круга радіуса r з центром у точці M0(x0;y0).
Нехай функція z=f(x;y) визначена у деякій області D площини xOy і нехай точка M0(x0;y0)D.
Означення 8. Число А називається границею функції f(x;y) при наближенні точки M(x;y) до точки M0(x0;y0), якщо для будь-якого числа можна знайти таке число (залежить від ), що для всіх точок M(x;y), координати яких задовольняють нерівність , тобто точок M(x;y) із – околу точки M0(x0;y0), виконується нерівність
.
Якщо А – границя функції f(х;y) при M(x;y)→ M0(x0;y0), то це записується так:
. (2.4)
Означення 9. Нехай точка M0(x0;y0)D – області визначення функції f(х;y). Функція z=f(х;y) називається неперервною у точці M0(x0;y0), якщо границя функції в ній існує і дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
, (2.5)
причому точка M(x;y) наближається до точки M0(x0;y0) довільним чином, залишаючись в області визначення функції.
Якщо , то (2.5) матиме вигляд:
(2.6)
або
. (2.7)
Використовуючи формулу (2.3) повного приросту функції z=f(х;y) у точці M0(x0;y0), маємо і, крім того, позначивши (якщо і , тоді і, навпаки, якщо , то і ), рівність (2.7) запишеться у вигляді:
. (2.8)
Означення 10. Функція, неперервна у кожній точці деякої області, називається неперервною у цій області.
Означення 11. Точка М1(х1;y1), в якій порушується умова (2.5) неперервності функції z=f(х;y) , називається точкою розриву цієї функції.
Приклад 3. Довести, що функція z=x2+y2 неперервна у будь-якій точці (х;y) площини xOy.
Ця функція визначена в усіх точках площини xOy. Її повний приріст для будь-яких x, y, ∆x, ∆y має вигляд:
.
Перейшовши до границі, коли і , дістанемо
і отже, дана функція неперервна у будь-якій точці (х;y) площини xOy.
Означення 12. Частинною похідною за х функцією двох змінних z=f(х;y) називається границя відношення частинного приросту до приросту цієї змінної ∆х, якщо приріст змінної ∆х довільним чином прямує до нуля.
Частинна похідна за х для функції z=f(х;y) позначається так:
; .
За означенням 12
. (2.9)
Означення 13. Частинною похідною за y функцією двох змінних z=f(х;y) називається границя відношення частинного приросту до приросту цієї змінної ∆y, якщо приріст змінної ∆y довільним чином прямує до нуля. Позначається така похідна так:
; .
За означенням 13
. (2.10)
Зауважимо, що обчислюється у припущенні, що y – стала змінна, а – у припущенні, що х – стала змінна. Тому при обчисленні частинних похідних функції двох змінних можна користуватися вже відомими правилами й формулами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи при цьому іншу змінну сталою.
Аналогічно, частинні похідні функцій більшого числа змінних визначаються та обчислюються у припущенні, що змінюється лише одна з незалежних змінних, а інші при цьому сталі.
Приклад 4. Знайти частинні похідні функцій:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
а) Припускаючи, що y стала і застосовуючи правила й формули диференціювання функції однієї змінної х, знаходимо частинну похідну по х:
Припускаючи, що х стала і застосовуючи правила й формули диференціювання функції однієї змінної y, знаходимо частинну похідну по y:
б)
в)
г)
Приклад 5. Довести, що функція задовольняє рівняння .
Знайдемо спочатку частинні похідні і .
Підставимо вираз для z, і у дане рівняння
Таким чином, доведено, що дана функція задовольняє дане рівняння.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД... УКРАЇНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ХІМІКО ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ... МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ЧАСТИННІ ПОХІДНІ
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов