Решение задачи № 2

 

В этой задаче нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Построим заданную фигуру (см. рис. 3). Найдем точки пересечения указанных в условии линий. Решим для этого систему уравнений

Она равносильна системе

откуда

Уравнение задает прямую, которая проходит через две найденные точки c координатами и .

Уравнение параболы приведём к каноническому виду, выделяя полный квадрат по переменной ,

Тогда каноническое уравнение параболы имеет вид

 

из которого видно, что парабола имеет осью симметрии вертикальную прямую , вершину в точке и ветви параболы направлены вверх (в направлении оси ).

Для того, чтобы найти площадь построенной фигуры, надо сначала составить выражение бесконечно малого элемента искомой площади, а затем проинтегрировать полученный результат в пределах изменения аргумента (см. [7]).

Обозначим бесконечно малый элемент площади через .

Он равен площади прямоугольника, заштрихованного на рис. 3, со сторонами и , т.е.

Так как и , то

 

Искомую площадь получаем, проинтегрировав полученный результат в пределах изменения переменной от до . Тогда