В этой задаче нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Построим заданную фигуру (см. рис. 3). Найдем точки пересечения указанных в условии линий. Решим для этого систему уравнений
Она равносильна системе
откуда
Уравнение задает прямую, которая проходит через две найденные точки c координатами и .
Уравнение параболы приведём к каноническому виду, выделяя полный квадрат по переменной ,
Тогда каноническое уравнение параболы имеет вид
из которого видно, что парабола имеет осью симметрии вертикальную прямую , вершину в точке и ветви параболы направлены вверх (в направлении оси ).
Для того, чтобы найти площадь построенной фигуры, надо сначала составить выражение бесконечно малого элемента искомой площади, а затем проинтегрировать полученный результат в пределах изменения аргумента (см. [7]).
Обозначим бесконечно малый элемент площади через .
Он равен площади прямоугольника, заштрихованного на рис. 3, со сторонами и , т.е.
Так как и , то
Искомую площадь получаем, проинтегрировав полученный результат в пределах изменения переменной от до . Тогда