Реферат Курсовая Конспект
Решение задачи № 4 - раздел Математика, Дифференциальное и интегральное Исчисление в случае функции одной Переменной В Данной Задаче Нужно Вычислить Объём Тела, Полученного Враще...
|
В данной задаче нужно вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси плоской фигуры, ограниченной параболой и прямой
Чтобы построить параболу, ее уравнение
(1)
приведём к каноническому виду, выделяя полный квадрат по переменной :
,
. (2)
Следовательно, парабола имеет ось симметрии , вершину в точке . Ветви параболы направлены вниз (в направлении, противоположном положительному направлению оси ). Кривая пересекает ось в точках и . Заданная фигура заштрихована на рис. 4 (а). Вращая её вокруг оси , получим тело с полостью.
Найдем объем тела вращения. Для этого составим выражение бесконечно малого элемента объема , а затем проинтегрируем полученный результат в пределах изменения аргумента (см. [7]).
Бесконечно малый элемент искомого объема равен объему кольцевого цилиндра с внешним радиусом , внутренним радиусом и высотой (см. рис. 4 (б), на котором выделен затененный цилиндр):
(3)
Рассечём тело вращения плоскостью, перпендикулярной оси . В сечении получим кольцо (рис. 4 (б)), которое является основанием нашего бесконечно тонкого кольцевого цилиндра. Чтобы определить внутренний и внешний радиусы этого кольца, вернемся к уравнению параболы. Из уравнения (2) найдём
,
следовательно,
Очевидно, что первая функция задает внешний радиус кольца, а вторая – внутренний, т.е.
и
Найдём бесконечно малый элемент искомого объёма по формуле (3):
.
Для вычисления объёма тела вращения проинтегрируем полученный результат по переменной . Тогда
.
Для вычисления интеграла сделаем подстановку и используем теорему о замене переменной.
Найдем пределы интегрирования по переменной : если , то если , то
Так как то и в результате получаем
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Санкт Петербургский государственный... архитектурно строительный университет Факультет городского строительства и жилищно коммунального хозяйства...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Решение задачи № 4
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов