Решение задачи № 4

 

В данной задаче нужно вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси плоской фигуры, ограниченной параболой и прямой

Чтобы построить параболу, ее уравнение

(1)

приведём к каноническому виду, выделяя полный квадрат по переменной :

,

. (2)

Следовательно, парабола имеет ось симметрии , вершину в точке . Ветви параболы направлены вниз (в направлении, противоположном положительному направлению оси ). Кривая пересекает ось в точках и . Заданная фигура заштрихована на рис. 4 (а). Вращая её вокруг оси , получим тело с полостью.

 

 

Найдем объем тела вращения. Для этого составим выражение бесконечно малого элемента объема , а затем проинтегрируем полученный результат в пределах изменения аргумента (см. [7]).

Бесконечно малый элемент искомого объема равен объему кольцевого цилиндра с внешним радиусом , внутренним радиусом и высотой (см. рис. 4 (б), на котором выделен затененный цилиндр):

(3)

Рассечём тело вращения плоскостью, перпендикулярной оси . В сечении получим кольцо (рис. 4 (б)), которое является основанием нашего бесконечно тонкого кольцевого цилиндра. Чтобы определить внутренний и внешний радиусы этого кольца, вернемся к уравнению параболы. Из уравнения (2) найдём

,

следовательно,

Очевидно, что первая функция задает внешний радиус кольца, а вторая – внутренний, т.е.

и

Найдём бесконечно малый элемент искомого объёма по формуле (3):

.

Для вычисления объёма тела вращения проинтегрируем полученный результат по переменной . Тогда

.

Для вычисления интеграла сделаем подстановку и используем теорему о замене переменной.

Найдем пределы интегрирования по переменной : если , то если , то

Так как то и в результате получаем