В этой задаче требуется исследовать интеграл
Данный интеграл является несобственным, так как промежуток интегрирования бесконечный. Напомним определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку.
Пусть функция определена при всех и интегрируема на каждом конечном промежутке . Рассмотрим предел
(1)
Его называют несобственным интегралом по бесконечному промежутку и обозначают символом
. (2)
Таким образом,
Если предел (1) существует и конечен, то говорят, что интеграл (2) существует или сходится. Если же рассматриваемый предел (1) не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл (2) не существует или расходится.
В нашем случае
Для вычисления интеграла используем теорему о замене переменной в определенном интеграле, сделав подстановку
Найдем пределы интегрирования по переменной : если , то если , то
Так как то и в результате получаем
Следовательно, данный интеграл сходится и равен