Дифференциальное исчисление в случае функции одной переменной

1. Геометрическая и механические задачи, приводящие к понятию производной (задача о построении касательной к кривой и задача о вычислении скорости материальной точки).

2. Производная функции. Её геометрическая и механическая трактовки.

3. Непрерывность функции, имеющей производную. Необходимое условие существования производной и его недостаточность.

4. Основные правила нахождения производных (суммы и произведения нескольких функций, частного двух функций, сложной функции, обратной функции). Производная постоянной. Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Производная неявно заданной функции и функции, заданной в параметрической форме.

5. Касательная и нормаль к плоской кривой и их уравнения.

6. Производные высших порядков. Механическая трактовка второй производной.

7. Теоремы о средних значениях дифференцируемых функций (теоремы Ферма, Роля, Лагранжа, Коши).

8. Основные виды неопределённостей. Раскрытие неопределённостей вида и с помощью правила Лопиталя.

9. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия возрастания, убывания и постоянства функции.

10. Экстремум функции (локальный максимум и локальный минимум). Необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции и его недостаточность. Острый экстремум. Два варианта достаточных условий существования экстремума дифференцируемой функции.

11. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на замкнутом промежутке.

12. Выпуклость вверх и выпуклость вниз плоской кривой. Необходимые и достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз плоской кривой. Точки перегиба. Необходимое условие существования точки перегиба дифференцируемой функции и его недостаточность. Достаточные условия существования точки перегиба кривой.

13. Асимптота кривой. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот.

14. Исследование функций, заданных в явной аналитической форме, и построение их графиков.

15. Дифференциал функции. Дифференциал как главная линейная часть приращения функции. Геометрическая трактовка дифференциала функции. Основные правила вычисления дифференциалов суммы и произведения нескольких функций, частного двух функций, сложной функции. Дифференциал постоянной функции. Инвариантность формы дифференциала функции.

16. Приближённые вычисления с помощью дифференциалов.

17. Понятие о длине дуги плоской кривой. Дифференциал длины дуги плоской кривой, его выражение в декартовой и полярной системах координат.

18. Кривизна плоской кривой. Вычисление кривизны плоской кривой в декартовой системе координат.

19. Окружность кривизны, ее центр и радиус. Выражение радиуса кривизны и координат центра кривизны в декартовой системе координат. Эволюта плоской кривой и ее свойства.

20. Понятие вектор – функции скалярного аргумента. Годограф вектор – функции скалярного аргумента.

21. Уравнения пространственной кривой в векторно-параметрической и параметрической формах. Винтовая линия и ее параметрические уравнения.

22. Предел, приращение, производная и дифференциал вектор – функции скалярного аргумента. Орт касательной к годографу. Основные правила дифференцирования вектор – функции скалярного аргумента.

23. Уравнение касательной к пространственной кривой.

24. Вторая производная Кривизна годографа. Соприкасающаяся плоскость. Главная нормаль к годографу и ее орт. Кривизна годографа. Выражение кривизны годографа через первую и вторую производные вектор–функции скалярного аргумента.