Сущность дисперсионного анализа заключаются в том, что дисперсия изучаемого признака разлагается на сумму составляющих ее дисперсий, каждое слагаемое которое соответствует действию определенного источника изменчивости.
Например, в однофакторном анализе мы получим разложение вида:
а в двухфакторном:
где
-общая дисперсия изучаемого признака С;
- дисперсия, вызванная влиянием фактора А;
- дисперсия, вызванная влиянием фактора В;
- дисперсия, вызванная взаимодействием факторов А и В;
- дисперсия, вызванная неучтенными случайными причинами (случайная дисперсия);
В дисперсионном анализе рассматривается нулевая гипотеза – ни один из рассматриваемых факторов не оказывает влияние на изменчивость признака.
Расчеты проводятся в следующей последовательности:
- определяются необходимые суммы квадратов отклонений результативного признака, в соответствии с моделью дисперсионного анализа;
- находится число степеней свободы вариации по каждому источнику;
- рассчитываются средние квадраты отклонений;
- определяются наблюдаемые и критические значения критерия F – Фишера – Снедекора, формулируются выводы относительно гипотезы Н0;
- оценивается значимость различий групповых средних по вариантам опыта.
Если Fн Fкр, то делается вывод о сущности различий результативного признака, обусловленных влиянием признака – фактора, т.е. действие фактора на результативный признак признается статистически достоверным.
Рассмотрим алгоритм однофакторного дисперсионного анализа. Единичный фактор принимает p различных уровней и на каждой уровне сделано n наблюдений, что дает N=np наблюдений.
Данные обычно располагают в виде таблицы результатов Xij (i=1,2,…,p; j=1,2,….,n):
| Уровень фактора, i | Номер наблюдения, j | |||
| .... | n | |||
| А1 | X11 | X12 | … | Xln |
| А2 | X21 | X22 | … | X2n |
| .... | …. | ... | … | … |
| Аi | Xil | Xi2 | … | Xin |
| .... | … | … | … | … |
| .... | … | … | … | … |
| Аp | Xpl | Xp2 | … | Xpn |
Рассматриваем тождество Суммируя обе части уравнения по i и j и проведя преобразования, получим:
(Точка вместо индекса обозначает усреднение соответствующих наблюдений по этому индексу.)
Иначе можно записать: SSo=SSv+SSz. Величина факторной суммы квадратов отклонений SSv вычисляется по отклонениям p средних от общей средней .., поэтому Sv имеет (p-1) степеней свободы. Величина остаточной суммы квадратов отклонений SSz вычисляется по отклонениям N наблюдений от p выборочных средних и, следовательно, имеет N-p=np-p=p (n-1) степеней свободы. Общая сумма квадратов отклонений SSo имеет (N-1) степеней свободы.
Однофакторный дисперсионный анализ
| Источник изменчивости | Суммы квадратов отклонений(SS) | Степени свободы (к) | Средние квадраты (s2) |
| Общая | N-1 | ||
| Различия между уровнями (факторная) | р-1 | ||
| Различия внутри уровней (остаточная) | N-p |
Если гипотеза о том, что влияние всех уровней одинаково, справедлива, то обе величины и будет несмещенными оценками . Значит, гипотезу можно повторить, вычислив отношение : и сравнить его с Fkp c kl= (p-1) и k2=(N-p) степенями свободы.
Если Fн Fкр , то гипотеза о незначимом влиянии фактора A на результат наблюдений не принимается.
Для оценки существенности частых различий вычисляют:
а) среднюю ошибку средней арифметической
б) ошибку разности средних
в) наименьшую существенную разность
.
Сравнивая разности средних значений по вариантам с HCP, делают вывод о существенности различий в уровне средних.
1 Оценить существенность различий в успеваемости студентов по четырем предметам и группам. Численность студентов в каждой группе составляет 25 человек
Уровень успеваемости студентов, балл
| Предмет | Группы | |||||||
| 4,3 | 4,1 | 4,1 | 4,2 | 4,4 | 4,5 | 4,0 | 4,3 | |
| 4,2 | 4,0 | 3,9 | 4,0 | 4,3 | 4,3 | 3,7 | 3,9 | |
| 4,4 | 4,5 | 4,2 | 4,2 | 4,3 | 4,3 | 4,4 | 4,4 | |
| 3,9 | 3,9 | 4,0 | 4,1 | 4,2 | 4,4 | 4,1 | 4,2 | |
| 4,1 | 4,3 | 4,1 | 4,3 | 4,1 | 4,4 | 4,1 | 3,8 | |
| 4,3 | 4,4 | 4,2 | 4,4 | 4,4 | 4,1 | 4,2 | 4,0 | |
| 3,9 | 3,7 | 3,6 | 3,8 | 4,1 | 3,7 | 3,9 | 3,7 | |
| 4,1 | 4,2 | 4,0 | 4,3 | 4,3 | 4,1 | 4,2 | 4,1 |
2 Доказывает ли опыт влияние различных доз удобрений на урожайность озимой пшеницы
Урожайность озимой пшеницы с 1 га, ц
| Доза удобрений | Повторения | |||||||
3 Оценить различия в среднемесячной заработной плате механизаторов различной квалификации.
Среднемесячная заработная плата механизаторов, тыс. руб.
| Класс механизаторов | Бригады | |||||||||
| I | 28,5 | 23,8 | 25,4 | 22,9 | 21,8 | 25,4 | 23,7 | 24,9 | 22,8 | 26,8 |
| II | 19,1 | 16,8 | 17,2 | 16,9 | 18,3 | 15,0 | 16,5 | 17,0 | 15,4 | 18,7 |
| III | 14,1 | 15,1 | 13,2 | 15,2 | 15,1 | 14,0 | 13,5 | 14,3 | 12,8 | 13,8 |
4 Оценить существование влияния различных сортов и доз удобрений на урожайность риса.
Урожайность риса с 1га, ц
| Сорт | Доза удобрений | Повторения | |||||||
5 Оценить существенность различий уровня производительности при культивации в различных хозяйствах по пропашным культурам и стажу работы механизаторов.
Объем выполненных работ механизаторами за 1 час работы, эт. га
| Культура | Стаж работы, лет | Хозяйства | |||
| Кукуруза на зерно | до 5 от 5 до 10 от 10 до 15 | 0,75 1,40 1,25 | 0,9 1,55 1,35 | 0,95 1,35 1,35 | 1,00 1,50 1,40 |
| Кукуруза на силос | до 5 от 5 до 10 от 10 до 15 | 0,85 1,50 1,35 | 0,95 1,40 1,40 | 0,85 1,55 1,55 | 1,10 1,45 1,50 |
| Подсолнечник | до 5 от 5 до 10 от 10 до 15 | 0,80 1,35 1,45 | 0,90 1,45 1,40 | 0,75 1,35 1,30 | 0,85 1,40 1,30 |