КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Корреляционно-регрессионный анализ – это совокупность статистических и математических методов, позволяющая оценить степень зависимости между результативными и факторными признаками, а так же найти аналитическое выражение зависимости.

Корреляционно-регрессионный анализ проводится в следующей последовательности.

1. Исходя из целей и задач исследования зависимости устанавливается результативный (у) и факторные (х_i) признаки.

2. По совокупности объектов определяются значения результативного и факторных признаков.

3. Обосновывается, обычно графическим методом, модель уравнения регрессии.

4. Методом наименьших квадратов определяются параметры уравнения регрессии.

5. Определяется теснота связи между изучаемыми признаками.

6. Оценивается значимость уравнения связи, его параметров и показателей тесноты связи.

При изучении влияния одного фактора Х на изменение результативного признака У линейное уравнение регрессии имеет вид: у=а + bx.

Его параметры находятся методом наименьших квадратов путем составления и решения следующей системы уравнений:

или

В уравнении регрессии b коэффициент регрессии, который показывает, на сколько единиц в среднем изменяется результативный признак при увеличении факторного признака на единицу.

При линейной зависимости для оценки тесноты связи между признаками используется коэффициент корреляции:

 

Статистическая гипотеза Н₀ : r = 0, Н₁: r 0 при уровне значимости проверяется с использованием критерия Стьюдента .

Критическое значении t находится по таблице t – Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы k = n -2 для двусторонней критической области. Если , то нулевая гипотеза отвергается, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля в генеральной совокупности. Если то нулевая гипотеза принимается и влияние фактора Х на У статистически не значимо.

D = r² 100% коэффициент детерминации, показывает какая часть общейколеблемости результативного признака объясняется вариацией факторного признака.

Э= коэффициент эластичности, который показывает, на сколько процентов изменится результативный признак У, при изменении факторного признака Х на 1 %.

Теснота связи, в случае нелинейной зависимости, выраженной уравнением регрессии , определяется с помощью индекса (коэффициента) корреляции R:

 

Значимость индекса корреляции определяется с помощью критерия F – Фишера – Снедекора при уровне значимости с к₁ = m – числом степеней свободы числителя и к₂ = (n-m-1) – числом степеней свободы знаменателя

,

где m – число параметров уравнения регрессии, n – число наблюдений. Если F_н < F_кр, то гипотеза о том, что R не является статистически значимым отклоняется (Н₀:R=0, H₁:R 0).

Коэффициент эластичности в общем виде определяется по формуле:

.

В зависимости от числа признаков, между которыми изучается связь, различают парную и множественную связь. Если изучается связь между результативным признаком, двумя и более факторными признаками, то она называется множественной связью.

 

1. На основании имеющихся данных определить параметры линейного уравнения регрессии между уровнем кормления и продуктивностью коров, рассчитать коэффициенты корреляции и детерминации. Оценить существенность величины коэффициентов корреляции и регрессии при уровне значимости 0,05.

 

№ п/п	Удой молока на фуражную корову, ц	Расход кормов на фуражную корову, ц корм. ед.
	31,2	33,6
	44,3	39,7
	54,5	50,2
	34,8	36,1
	46,9	41,2
	37,2	39,0
	50,0	45,6
	34,2	37,4
	35,0	38,4
	38,0	40,2
	53,8	55,7

 

2 По первым 30 предприятиям, взятых из приложения 4: а) построить график зависимости между двумя признаками, определив какой из них будет результативным, а какой факторным; б) установить аналитическое выражение зависимости между признаками; в) определить методом наименьших квадратов параметры уравнения регрессии; г) оценить тесноту связи между признаками; д) при уровне значимости дать оценку значимости уравнения регрессии и показателей тесноты связи.

Зависимость изучить по следующим парам признаков:

1) площадь сельскохозяйственных угодий и валовая продукция сельского хозяйства;

2) площадь сельскохозяйственных угодий и реализованная продукция;

3) среднегодовая стоимость основных фондов и валовая продукция;

4) среднегодовая стоимость основных фондов и реализованная продукция;

5) затраты по оплате труда и валовая продукция;

6) материальные затраты и валовая продукция;

7) затраты по оплате труда и реализованная продукция;

8) энергетические мощности и валовая продукция ;

9) среднегодовая численность работников предприятия и валовая продукция сельского хозяйства;

10) среднегодовая численность работников и реализованная продукция;

11) энергетические мощности и реализованная продукция;

12) затраты на производство и валовая продукция сельского хозяйства;

13) затраты на реализованную продукцию и стоимость реализованной продукции;

14) затраты на производство на 100 га сельскохозяйственных угодий и валовая продукция на 100 га сельскохозяйственных угодий;

15) затраты по оплате труда на 100 га сельхозугодий и валовая продукция на 100 га сельхозугодий;

16) затраты на реализованную продукцию на 100 га сельхозугодий и реализованная продукция на 100 га сельхозугодий;

17) среднегодовая численность работников на 100 га сельхозугодий и валовая продукция на 100 га сельхозугодий;

18) среднегодовая численность работников на 100 га сельхозугодий и реализованная продукция на 100 га сельхозугодий;

19) затраты по оплате труда на 100 га сельхозугодий и реализованная продукция на 100 га сельхозугодий.

20) затраты по оплате труда на среднегодового работник и валовая продукция на среднегодового работника;

21) энергетические мощности на среднегодового работника и реализованную продукцию на работника;

22) энергетические мощности на среднегодового работника и валовая продукция на среднегодового работника;

23) энергетические мощности на 100 га сельхозугодий и валовая продукция на 100 га сельхозугодий;

24) энергетические мощности на 100 га сельхозугодий и реализованная продукция на 100 га сельхозугодий;

25) затраты по оплате труда на среднегодового работника и реализованная продукция на среднегодового работника;

26) среднегодовая стоимость основных фондов на 100 га сельхозугодий и валовая продукция на 100 га сельхозугодий;

27) среднегодовая стоимость основных фондов на 100 га сельхозугодий и реализованная продукция на 100 га сельхозугодий;

28) среднегодовая стоимость основных фондов на работника и валовая продукция на работника;

29) среднегодовая стоимость основных фондов на работника и реализованная продукция на работника;

30) материальные затраты на 100 га сельхозугодий и валовая продукция на 100 га сельхозугодий.

 

3. По совокупности 60 сельскохозяйственных предприятий Краснодарского края за 2008 год изучаются зависимости между результатами производства и влияющими на них факторами. Предварительные результаты по каждому признаку представлены в приложении 5, а парные коэффициенты корреляции в приложении 6.

По одному варианту заданий определить:

- линейные уравнения парной регрессии между результативными и факторными признаками;

- значимость парных уравнений регрессии, коэффициентов регрессии и корреляции;

- уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе;

- коэффициенты эластичности;

- множественные коэффициенты корреляции и детерминации;

- частные коэффициенты корреляции.

Оценить статистическую значимость уравнения множественной регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.

Варианты заданий: 1) у₁; х₁; х₂; 2) у₁;х₁; х₃; 3) у₁; х₁; х₄; 4) у₁; х₁; х₅; 5) у₁; х₂; х₃; 6) у₁; х₂; х₄; 7) у₁; х₂; х₆; 8) у₂; х₇; х₈; 9) у₂; х₇; х₉; 10) у₂; х₈; х₉; 11) у₂; х₈; х₁₀; 12) у₂; х₉; х₁₀; 13) у₃; х₁; х₂; 14) у₃; х₁; х₃; 15) у₃; х₁; х₄; 16) у₃; х₁; х₅; 17) у₃; х₂; х₃; 18) у₃; х₂; х₄; 19) у₃; х₂; х₆; 20) у₁; х₃; х₆; 21) у₃; х₃; х₆; 22) у₁; х₄; х₅; 23) у₃; х₄; х₅; 24) у₁; х₄; х₆; 25) у₃; х₄; х₆; 26) у₁; х₅; х₆; 27) у₃; х₅; х₆.

 

4. Рейтинг 9 банков был оценен тремя экспертами. С помощью коэффициента ранговой корреляции найти пары экспертов, оценки которых наиболее близко соответствует друг другу. Оценить значимость различий в оценке рейтинга банков экспертами.

 

Рейтинг банков (номер предпочтительности)

Эксперт	Номер банка