Временной ряд – это ряд значений изучаемого признака за последовательные моменты или периода времени. Он состоит из уровней ряда (уi) и периодов или моментов времени, к которым относятся уровни (ti).
Уровни ряда формируются под влиянием совокупности факторов, проявляющихся через трендовую (Т), циклическую или сезонную (S) и случайную компоненты (ε). Применяются аддитивная У=Т+S+ε или мультипликативная У=Т∙S∙ε модели.
Для выявления во временном ряду тенденции или циклических колебаний используется коэффициент автокорреляции. Коэффициент автокорреляции уровней первого порядка, смещенных на одну единицу времени, определяется по формуле:
, где , (16.1)
Для характеристики тенденций во временном ряду наиболее часто используются следующие функции:
- линейная ; (16.2)
- степенная ; (16.3)
- гипербола ; (16.4)
- показательная ; (16.5)
- полиноминальная . (16.6)
Параметры уравнений определяются методом наименьших квадратов.
Для характеристики зависимости между последовательными значениями остатков применяется критерий Дарбина-Уотсона.
, 0 . (16.7)
Для выявления циклических наблюдений во временных рядах используется гармонический анализ. Наиболее часто применяют ряд Фурье:
, (16.8)
где k=1,2, …., ( ) номер гармоники,
t = 1,2, ….., Т – номер интервала или момента времени,
Т – число уровней временного ряда,
- выравненный уровень в момент или интервал времени t.
Если в исходном ряду тенденции развития не обнаружено, то а0.
Параметры ряда Фурье определяются методом наименьших квадратов по формулам:
, , .
Если в исходном ряду обнаружена тенденция и найдены значения , то в формуле вместо уt , используется .
1 На основании данных об урожайности одной сельскохозяйственной культуры: а) построить график динамики урожайности; б) определить параметры тренда урожайности, используя приемы линейного и нелинейного сглаживания, в) найти выравненные значения урожайности и доверительные интервалы для этих значений, г) определить прогнозные значения урожайности на период до 2005 года
Урожайность сельскохозяйственных культур с 1 га, ц
| Год | Пшеница озимая | Кукуруза | Картофель | Сахарная свекла | Подсол-нечник | Овощи | Табак |
| 28,8 | 34,8 | 22,1 | 9,7 | ||||
| 33,2 | 27,8 | 22,3 | 10,6 | ||||
| 39,5 | 30,2 | 20,1 | 8,2 | ||||
| 37,5 | 39,4 | 15,6 | 7,3 | ||||
| 43,2 | 30,9 | 18,2 | 10,0 | ||||
| 36,4 | 35,3 | 23,5 | 12,4 | ||||
| 44,1 | 36,3 | 20,4 | 9,0 | ||||
| 39,8 | 33,3 | 17,8 | 6,6 | ||||
| 42,0 | 35,4 | 16,9 | 9,6 | ||||
| 36,2 | 36,4 | 16,0 | 8,4 | ||||
| 32,9 | 31,3 | 17,5 | 5,9 | ||||
| 38,9 | 44,6 | 12,8 | 7,2 | ||||
| 44,5 | 35,1 | 8,4 | 10,8 | ||||
| 39,9 | 42,9 | 12,4 | 12,8 | ||||
| 37,8 | 20,1 | 13,0 | 9,5 | ||||
| 38,8 | 22,0 | 15,6 | 6,3 | ||||
| 44,0 | 24,0 | 13,3 | 6,8 | ||||
| 47,2 | 28,8 | 17,3 | 6,9 | ||||
| 46,8 | 35,7 | 21,6 | 8,1 | ||||
2 Имеются следующие данные об объеме подрядных работ строительной организации
Объем подрядных работ, млн. руб.
| Месяц | 2005 г. | 2006 г. | 2007 г. | 2008 г. |
| Январь | 1,25 | 1,58 | 1,46 | 2,31 |
| Февраль | 1,88 | 1,96 | 2,32 | 2,70 |
| Март | 2,32 | 2,64 | 2,89 | 3,23 |
| Апрель | 4,41 | 4,87 | 4,66 | 5,11 |
| Май | 4,10 | 4,05 | 4,34 | 6,02 |
| Июнь | 4,21 | 4,58 | 4,11 | 6,25 |
| Июль | 5,03 | 5,94 | 6,03 | 8,02 |
| Август | 5,41 | 6,05 | 5,74 | 8,44 |
| Сентябрь | 4,87 | 5,11 | 5,34 | 7,34 |
| Октябрь | 3,17 | 4,07 | 4,85 | 5,02 |
| Ноябрь | 2,46 | 3,86 | 4,23 | 4,75 |
| Декабрь | 3,28 | 3,15 | 3,98 | 4,95 |
Построить график динамики объема подрядных работ. Определить параметры тренда объема подрядных работ, включающего общую закономерность изменения объема работ и периодическую составляющую, используя периодическую функцию ряда Фурье.