Непрерывная случайная величина X принимает значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Она может быть задана функцией распределения вероятностей (интегральной функцией) или плотностью распределения вероятностей (дифференциальной функцией).
Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения Х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х, т.е. . Функция распределения имеет следующие свойства:
1) ;
2) ;
3) . (5.1)
Плотностью распределения вероятностей называют первую производную от функции распределения: . Функция плотности вероятностей имеет следующие свойства:
1) ;
2) ;
3) ; (5.2)
4) . (5.3)
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х определяется равенством:
. Если . (5.4)
Дисперсия непрерывной случайной величины Х, определяется равенством:
, или . (5.5)
Если . (5.6)
Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии:
. (5.7)
1. Даны законы распределения дискретной случайной величины:
а)
| Х | ||||
| р | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
б)
| Х | -2 | |||
| р | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
Найти функцию распределения случайной величины Х и построить ее график.
2. По данным задачи 5, темы 4 составить функцию распределения случайной величины Х и построить ее график.
3. По данным задачи 6, темы 4 составить функцию распределения случайной величины Х и начертить ее график
4. По одному варианту задачи 14, темы 4 составить функцию распределения случайной величины Х и начертить ее график.
5. Найти функцию распределения случайной величины Х – числа попаданий в цель, если произведено три выстрела с вероятностью попадания в цель при каждом выстреле 0,8.
6. Вероятность сдачи первого экзамена студентом составляет 0,7, второго 0,6 и третьего 0,8. Найти функцию распределения случайной величины Х-числа экзаменов, сданных студентом. Определить М(Х).
7. Случайная величина Х задана функцией распределения:
а) б)
Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение: а) меньше 0; б) меньше 1; в) не меньше 1; г) заключенное в интервале (0;2).
8. Дана функция распределения случайной величины Х:
а) б)
Найти вероятность того, что в результате шести испытаний случайная величина Х два раза примет значение, принадлежащее интервалу (0;1).
9. Случайная величина задана функцией:
а) б)
Найти: а) плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию) случайной величины Х; б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
10. Дана функция распределения случайной величины Х:
а) Определить вероятность попадания случайной величины в интервал
(-а;а). б) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
11. Случайная величина Х задана функцией:
а) б)
Найти значения А и В, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
12. Случайная величина Х задана функцией:
Найти: а) плотность распределения случайной величины Х; б) вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний случайная величина Х хотя бы один раз примет значение, принадлежащее интервалу ; в) начертить графики функций.
13. Случайная величина Х задана функцией:
Найти: а) плотность распределения; б) вероятность попадания случайной величины в интервал (2,5; 3); в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х; г) моду и медиану величины Х. Построить графики функций.
14. Случайная величина Х задана плотностью распределения:
Найти: а) функцию распределения F(x); б) вероятность попадания случайной величины в интервал .
15. Случайная величина Х задана плотностью распределения
Определить: а) функцию распределения случайной величины Х; б) вероятность попадания случайной величины в интервал (1;1,2). Начертить графики функций F(x) и f(x).
16. Случайная величина Х задана плотностью распределения:
Определить: а) функцию распределения случайной величины Х; б) вероятность попадания случайной величины в интервал (ln2; 1,2ln 2). Начертить графики функций F(x) и f(x).
17. Случайная величина Х задана плотностью распределения:
Найти: а) функцию распределения; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале ; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
18. Случайная величина Х задана плотностью распределения:
Найти: а) функцию распределения случайной величины Х и начертить её график; б) вероятность попадания случайной величины Х в интервал ; в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
19. Случайная величина Х задана функцией:
Определить: а) значение а; б) математическое ожидание; в) вероятность попадания случайной величины в интервал (1;2). Построить графики функций F(x) и f(x).
20. Дана функция распределения:
Построить графики функций F(x) и f(x).
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
21. Случайная величина задана плотностью распределения:
Найти: а) постоянную с; б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
22. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией при Найти постоянную с.
23. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти функцию распределения случайной величины Х, математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания случайной величины в интервал (-1;3).