ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Наиболее часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, если на интервале (а,b), которому принадлежат все возможные значения Х, плотность распределения сохраняет постоянное значение (6.1)

Функция распределения имеет вид:

(6.2)

. (6.3)

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид:

, . (6.4)

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β):

, (6.5)

где - функция Лапласа, причем ,

при .

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения будет меньше положительного числа δ:

. (6.6)

В частности, при а = 0, . (6.7)

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью:

, (6.8)

где λ – постоянная положительная величина.

Функция распределения показательного закона:

(6.9)

Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал (а, в), распределенной по показательному закону:

. (6.10)

. (6.11)

1. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-2;N). Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины Х; б) интегральную функцию; в) вероятность попадания случайной величины в интервал (-1; ); г) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равномерно распределенной в интервале: а) (5; 11); б) (-3; 5). Начертить графики этих функций.

3. Случайная величина Х равномерно распределена на интервале (2; 6), причем Д(х) = 12. Найти функции распределения случайной величины Х. Начертить графики функций.

4. Случайная величина Х распределена по закону прямоугольного треугольника (рис. 1) в интервале (0; а). Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины Х; б) интегральную функцию; в) вероят-

ность попадания случайной величины

в интервал ( ); г) математическое

ожидание, дисперсию и среднее квад-

ратическое отклонение случайной

величины Х.

 

 

0 а х

Рисунок 1.

5. Случайная величина Х распределена по закону Симпсона («закону равнобедренного треугольника») (Рис. 2) на интервале (-а; а). Найти: а) дифференциальную функцию распределения вероятностей случайной величины Х;

f(x)

б) интегральную функцию и построить ее график; в) вероятность попадания случайной величины в интервал (- ); г) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Рисунок 2.

6. Для исследования продуктивности определенной породы домашней птицы измеряют диаметр яиц. Наибольший поперечный диаметр яиц представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним значением 5 см и средним квадратическим отклонением 0,3 см. Найти вероятность того, что: а) диаметр взятого наудачу яйца будет заключен в границах от 4,7 до 6,2 см; б) отклонение диаметра от среднего не превзойдет по абсолютной величине 0,6 см.

7. Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 150 г и математическим ожиданием а = 1000 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет: а) от 900 до 1300 г; б) не более 1500 г; в) не менее 800 г; г) отличаться от среднего веса по модулю не более чем на 200 г; д) начертить график дифференциальной функции случайной величины Х.

8. Урожайность озимой пшеницы по совокупности участков распределяется по нормальному закону с параметрами: а = 50 ц/га, = 10 ц/га. Определить: а) какой процент участков будет иметь урожайность свыше 40 ц/га; б) процент участков с урожайность от 45 до 60 ц/га.

9. Выборочным методом измеряется засоренность зерна, случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 0,2 г и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из четырех независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 0,3 г.

10. Количество зерна, собранного с каждой делянки опытного поля, есть нормально распределенная случайная величина Х, имеющая математическое ожидание а = 60 кг и среднее квадратическое отклонение равно 1,5 кг. Найти интервал, в котором с вероятностью 0,9906 будет заключена величина Х. Написать дифференциальную функцию этой случайной величины.

11. С вероятностью 0,9973 было установлено, что абсолютное отклонение живого веса случайно взятой головы крупного рогатого скота от среднего веса животного по всему стаду не превосходит 30 кг. Найти среднее квадратическое отклонение живого веса скота, считая, что распределение скота по живому весу подчиняется нормальному закону.

12. Урожайность овощей по участкам является нормально-распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 300 ц/га и средним квадратическим отклонением 30 ц/га. С вероятностью 0,9545 определить границы, в которых будет находиться средняя урожайность овощей на участках.

13. Нормально-распределенная случайная величина Х задана дифференциальной функцией:

.

Определить: а) вероятность попадания случайной величины в интервал

(3; 9); б) моду и медиану случайной величины Х.

14. Торговая фирма продает однотипные изделия двух производителей. Срок службы изделий подчиняется нормальному закону. Средний срок службы изделий первого производителя составляет 5,5 тыс. часов, а второго 6 тыс. часов. Первый производитель утверждает, что с вероятностью 0,95 срок службы первого производителя находится в границах от 5 до 6 тыс. часов, а второй, с вероятностью 0,9, в границах от 5 до 7 тыс. часов. Какой производитель имеет большую колеблемость срока службы изделий.

15. Месячная заработная плата работников предприятия распределяется по нормальному закону с математическим ожиданием а = 10 тыс. руб. Известно, что 50 % работников предприятия получает заработную плату от 8 до 12 тыс. руб. Определить, какой процент работников предприятия имеет месячную заработную плату от 9 до 18 тыс. руб.

16. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если: а) параметр ; б) ; в) . Начертить графики функций.

17. Случайная величина Х распределена по показательному закону, причем . Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал: а) (0; 1); б) (2; 4). М(Х), Д(Х), (Х).

18. Найти М(Х), Д(Х), (Х) показательного закона распределения случайной величины Х заданной функцией:

 

 

если: а) ; б) ; в) .

19. Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность безотказной работы первого имеет показательнее распределение , второго . Найти вероятность того, что за время длительностью 20 часов: а) оба элемента будут работать; б) откажет только один элемент; в) откажет хотя бы один элемент; г) оба элемента откажут.

20. Вероятность того, что оба независимых элемента будут работать в течении 10 суток равна 0,64. Определить функцию надежности для каждого элемента, если функции одинаковы.

21. Среднее число ошибок, которые делает оператор в течение часа работы равно 2. Найти вероятность того, что за 3 часа работы оператор сделает: а) 4 ошибки; б) не менее двух ошибок; в) хотя бы одну ошибку.

22. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) 4 вызова; б) не менее трех вызовов.

23. Случайная величина Х распределена по закону Коши

.